Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen

Einführung

Aus der Negation der Definition von topologisch kleinen Potenzen erhält man für ${\textstyle z\notin {\mathcal {TKP}}(A)}$, dass es für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ und Konstanten $D_{k}(\alpha )>0$ gibt, sodass für alle $x\in A$ gilt:

$\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }$

(siehe topologisch kleine Potenzen)

Definition: Topologische große Potenzen

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)}$ ein unitale topologische Algebra. Ein ${\textstyle z\in A}$ besitzt topologisch große Potenzen ($z\in {\mathcal {TGP}}(A)$), wenn es für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ und Konstanten $D_{k}(\alpha )>0$ gibt, sodass für alle $x\in A$ gilt:

$\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }$

Bemerkung

Damit gilt unmittelbar ${\mathcal {TGP}}(A)=A\setminus {\mathcal {TKP}}(A)$, weil die ${\mathcal {TGP}}$-Eigenschaft als Negation der Eigenschaft, topologisch kleine Potenzen zu besitzen, formuliert wurde.

Topologisch kleine / große Potenzen

Ein Element ${\textstyle z\in A}$ aus einer topologischen Algebra ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ besitzt genau dann rechtsseitig topologisch kleine Potenzen, wenn es ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt, so dass für alle ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle k(\beta )\in \mathbb {N} }$ mit

$$\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z^{k(\beta )}\cdot x\right\|_{\beta }=0$$

existiert. Dies ist die Negation für die Eigenschaft, dass ${\textstyle z}$ topologisch große Potenzen besitzt - ${\textstyle z\notin {\mathcal {TGP}}(A)}$).

TGP-Kriterium

Ein Element $z\in A$ besitzt genau topologisch große Potenzen in ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}_{e}^{k}}$, ${\textstyle z\in A}$ ( $z\in {\mathcal {TGP}}(A)$, wenn es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine isotone Folge von Gaugefunktionalen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit positiven Konstanten ${\textstyle D_{(\alpha ,k)}}$ gibt, für die gilt:

• (R1)${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ und
• (R2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Beweis

Die Beweisführung basiert auf der Verwendung der topologischen Eigenschaft $z\in {\mathcal {TGP}}(A)$, um eine Eindeutigkeit der Komplementärteiler $y$ von Potenzen $z^{k}$ für die multiplikative Zerlegung $z^{k}\cdot y=x$ für ein gegebenes $x\in A$ zu erhalten, wenn diese existiert. Die Teilermenge $T_{k}(x)$ der Komplementärteiler von Potenzen $z^{i}$ zu $x\in A$ mit $i\in \{0,1,\ldots k\}$ wird dann verwendet, um die ${\mathcal {K}}$-Funktionale ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}}$ zu definieren.

Beweisidee

Es ist eine Äquivalenz von $z\in {\mathcal {TGP}}(A)$ und den beiden Ungleichung aus dem Kriterium zu zeigen.

• In Beweisteil (1) startet man mit $z\in {\mathcal {TGP}}(A)$ und zeigt (R1) und (R2).
• In Beweisteil (2) startet man mit (R1) und (R2) als Vorausetzung und zeigt $z\in {\mathcal {TGP}}(A)$.

Folge der Konstanten

Ist zusätzlich zum obigen Satz eine weitere Folge $(C_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ gegeben, so kann man die Konstantenfolgen $\left(D_{k}(\alpha )\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ ohne Einschränkung so wählen, dass diese

• monoton wachsend (d.h. $D_{k}(\alpha )+D_{(\alpha ,k)}\leq D_{k+1}(\alpha )$ für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$) und
• $C_{k}\leq D_{k}(\alpha )$

gilt.

Grund für Isotonie und Majorante

Der Grund für die Konstruktion der Konstantenfolgen $\left(D_{k}(\alpha )\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ mit den vorher genannten Eigenschaften ist die Notwendigkeit, dass man bei der Stetigkeit des Algebraisomorphismus Konstanten für die Gaugefunktionale in der Polynomalgebra abschätzen muss. Genauer gesagt, Koeffizienten der Form $z\cdot q_{k-1}\in A$ für $t^{k}$ mit einem Gaugefunktional mit Koeffizenten $q_{k-1}\in A$ für $t^{k-1}$ abschätzen. Dabei muss gleichzeitig die Stetigkeit der Addition und Multiplikation erfüllt sein. Dabei muss die Konstantenfolge zusätzliche Eigenschaften berücktsichtigen, die über die Eigenschaft $C_{k}\leq D_{k}(\alpha )$ in das TGP-Kriterium integriert werden können.

(1.1) Negation - Topologische kleine Potenzen

Aus $z\in {\mathcal {TGP}}(A)$ erhält man über die Negation der ${\mathcal {TKP}}$-Definition für ${\textstyle z\notin {\mathcal {TKP}}(A)}$ die Aussage, dass es für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ und Konstanten $D_{k}(\alpha )>0$ gibt, sodass für alle $x\in A$ gilt:

$\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }$

(1.2) Stetigkeit der Multiplikation

Über die Stetigkeit der Multiplikation zu dem $\beta \in {\mathcal {A}}$ ein $\gamma \in {\mathcal {A}}$ mit

(1.3) Teilerdefinition in Algebren

$z\in A$ ist eine Teiler von $x\in A$ genau dann, wenn es einen Komplementärteiler $y\in A$ gibt, mit $z\cdot y=x$.

Analog erhält man $z^{k}\in A$ ist eine Teiler von $x\in A$ genau dann, wenn es einen Komplementärteiler $y\in A$ gibt, mit $z^{k}\cdot y=x$.

(1.4) Eindeutigkeit der Komplementärteiler

Der Komplementärteiler $y\in A$ von $x\in A$ bzgl. $z^{k}\in A$ ist mit der Regularitätsbedingung eindeutig bestimmt. Angenommen, es gibt zwei unterschiedliche Komplementärteile $y_{1}\not =y_{2}$ mit $z^{k}\cdot y_{1}=x$ und $z^{k}\cdot y_{2}=x$, so gibt es mit der Hausdorff-Eigenschaft ein $\alpha \in {\mathcal {A}}$ mit:

$0<\|y_{1}-y_{2}\|_{\alpha }$

(1.5) Abschätzung mit der TKP-Regularitätsbedingung

Abschätzung mit der TKP-Regularitätsbedingung führt zum Widerspruch, denn es gilt

${\begin{array}{rcl}0&<&\|y_{1}-y_{2}\|_{\alpha }\\&\leq &D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot (y_{1}-y_{2})\right\|_{\beta }\\&=&D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot y_{1}-z^{k}\cdot y_{2}\right\|_{\beta }\\&=&D_{k}(\alpha )\cdot \left\|x-x\right\|_{\beta }=0\end{array}}$

(1.6) Definition von Teilermengen

Nun definiert man mit der Eindeutigkeit der Komplementärteiler zu $z^{k}$ bzgl. $x\in A$ folgende Mengen:

$T_{k}(x):=\left\{y\in A\,\colon \,\exists _{i\in \{0,\ldots ,k\}}z^{i}\cdot y=x\right\}$

(1.7) Eigenschaften der Teilermengen

• $T_{k}(x)\not =\emptyset$ für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ und $x\in A$, denn $x=e_{A}\cdot x=z^{0}\cdot x$.
• $T_{k}(x)\subseteq T_{k+1}(z\cdot x)$, denn für $y\in T_{k}(x)$ gibt es ein $i\in \{0,\ldots ,k\}$ mit $z^{i}\cdot y=x$. Damit gilt die Gleichung $z^{i+1}\cdot y=z\cdot x$ auch für $0\leq i\leq (k+1)$ und man erhält $y\in T_{k+1}(x)$
• $|T_{k}(x)|\leq k+1$, denn mit der Eindeutigkeit der Komplementärteiler von $x$ bzgl. $z^{i}$ und $i\in \{0,\ldots ,k\}$ kann es maximal $k+1$ Teiler von $x$ in $T_{k}(x)$ geben.

(1.8) Definition ein Folge von Gaugefunktionalen

Mit der Eigenschaft ${\textstyle z\notin {\mathcal {TKP}}(A)}$ definiert man eine Sequenz von Gaugefunktionalen.

$\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}:=\max _{y\in T_{k}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }$

(1.9) Ungleichung für Folge von Gaugefunktionalen

${\begin{array}{rcl}\left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}&=&\displaystyle \max _{y\in T_{k+1}(z\cdot x)}\left\|y\right\|_{\alpha }\\&\geq &\displaystyle \max _{y\in T_{k}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }=\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\end{array}}$

(1.10) Erstes Gaugefunktional in der Sequenz

Das erste Gaugefunktional für $k=0$ in der Sequenz stimmt mit $\|\cdot \|_{\alpha }$ überein, denn mit $x=e_{A}\cdot x=z^{0}\cdot x$ gilt:

• $T_{0}(x)=\{x\}$
• $\left\|x\right\|_{(\alpha ,0)}=\max _{y\in T_{0}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }=\left\|x\right\|_{\alpha }$

(1.11) Isotonie der Sequenz

Die Isotonie der Sequenz $\left(\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ von Gaugefunktionalen ergibt sich unmittelbar aus der Definition und $T_{k}(x)\subseteq T_{k+1}(x)$:

${\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}&=&\displaystyle \max _{y\in T_{k}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }\\&\leq &\displaystyle \max _{y\in T_{k+1}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }=\left\|x\right\|_{(\alpha ,k+1)}\end{array}}$

(1.12) Abschätzung der Sequenz nach oben

Die Isotonie der Sequenz $\left(\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ von Gaugefunktionalen ergibt sich unmittelbar aus der Definition:

${\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}&=&\displaystyle \max _{y\in T_{k}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }\\&\leq &\displaystyle \max _{y\in T_{k}(x)}\underbrace {D_{i}(\alpha )} _{\leq D_{k}(\alpha )}\cdot \|\underbrace {z^{i}\cdot y} _{x}\|_{\beta }\\&\leq &\displaystyle D_{k}(\alpha )\cdot \|x\|_{\beta }\end{array}}$

(1.13) Homogenität

Die Homogenität der Funktionale aus der Sequenz $\left(\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ ergibt sich unmittelbar aus der Definition denn mit $x=z^{i}\cdot y$ gilt auch $\lambda \cdot x=z^{i}\cdot (\lambda \cdot y)$:

${\begin{array}{rcl}\left\|\lambda \cdot x\right\|_{(\alpha ,k)}&=&\displaystyle \max _{y\in T_{k}(x)}\left\|\lambda \cdot y\right\|_{\alpha }\\&=&\displaystyle |\lambda |\cdot \max _{y\in T_{k}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }=|\lambda |\cdot \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\end{array}}$

(2) Umgekehrte Beweisrichtung

Existiert nun zu jedem ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine isotone Folge von ${\mathcal {K}}$-Funktionalen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit positiven Konstanten ${\textstyle D_{k}(\alpha )}$ gibt, für die gilt:

• (R1) ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ und
• (R2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$

(2.1) Umgekehrte Beweisrichtung - Einsetzen in Sequenz

Durch Einsetzung erhält man $z\in {\mathcal {TGP}}(A)$ durch folgende Ungleichungskette:

${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \|z\cdot x\|_{(\alpha ,1)}\leq \ldots \leq \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{k}(\alpha )\left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }}$

(2.2) Stetigkeit der Multiplkation

Mit der Stetigkeit der Multiplikation kann man die Potenz auch noch weiter nach ober abschätzen, denn es gilt:

${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \|z^{k}\|_{\gamma }\cdot \|x\|_{\gamma }}$

Damit folgt insgesamt folgt die Behauptung. $\Box$

PC-Regularitätslemma

Sei $z\in A$ ${\mathcal {PC}}_{e}^{k}$-regulär in ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}$, dann gibt es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine isotone Folge von Quasihalbnormen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit der Stetigkeitskonstante der Addition $K_{\alpha }\geq 1$ und positive Konstanten ${\textstyle D_{(\alpha ,k)}}$ gibt, für die gilt:

• (PC1) ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ und
• (PC2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Beweis

Das Element $z\in A$ sei ein ${\mathcal {PC}}_{e}^{k}$-reguläres Element in Algebra $A$ und in einer Algebraerweiterung ${\textstyle \left(B,\left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\mathcal {\widetilde {A}}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}$ von ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}$ invertiertbar.

Beweis 1 - Inverses Element in B

Da $z\in A$ in $B$ invertierbar ist, sei $b\in B$ das eindeutig bestimmte Inverse zu $z$. Ferner sei $\tau :A\to A'\subset B$ der Algebraisomorphismus, der $A$ in $B$ einbettet.

Beweis 2 - Homöomorphie des Algebraisomorphismus

Die Homöomorphie des Algebraisomorphismus $\tau :A\to A'$ liefert

• zu jedem $\alpha \in {\mathcal {A}}$ eine ${\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ mit $\|x\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }\cdot \left\|\!\left|\tau (x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\alpha }}$
• zu jedem ${\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation ein ${\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ mit $\left\|\!\left|v\cdot w\right|\!\right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq \left\|\!\left|v\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\cdot \left\|\!\left|w\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}$ für alle $v,w\in B$ und
• zu jedem ${\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation ein ${\widetilde {\gamma }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ mit $\left\|\!\left|v\cdot w\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\leq \left\|\!\left|v\right|\!\right\|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left\|\!\left|w\right|\!\right\|_{\widetilde {\gamma }}$ für alle $v,w\in B$ und
• zu jedem ${\widetilde {\gamma }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ gibt es ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ mit $\left\|\!\left|\tau (x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\leq C_{\widetilde {\gamma }}\cdot \|x\|_{\beta }$.

Beweis 3 - Definition der Quasihalbnormen

Zunächst werden Quasihalbnormen auf $B$ wie folgt definiert mit $D_{k}(\alpha ):=\max _{i=0}^{k}\left\|\!\left|\tau (z^{i})\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}$:

$\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}:=C_{\alpha }\cdot D_{k}(\alpha )\cdot \left\|\!\left|b^{k}\cdot \tau (x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}{\mbox{ mit }}b=z^{-1}\in B$

Dabei ist $\left(D_{k}(\alpha )\right)_{k\in \mathbb {N} _{o}}$ eine monoton wachsende Folge, wegen

$D_{k}(\alpha )=\max _{i=0}^{k}\left\|\!\left|\tau (z^{i})\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\leq \max _{i=0}^{k+1}\left\|\!\left|\tau (z^{i})\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}=D_{k+1}(\alpha )$.

Beweis 4 - Abschätzung mit den Ungleichungen

Die Ungleichungskette ergibt sich durch die obigen Eigenschaften und $\tau (z^{k})=\tau (z)^{k}$:

${\begin{array}{rcl}\|x\|_{\alpha }&\leq &C_{\alpha }\cdot \left\|\!\left|\tau (x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\alpha }}=C_{\alpha }\cdot {\big \|}\!{\big |}\underbrace {\tau (z^{k})\cdot b^{k}} _{=e_{B}}\cdot \tau (x){\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\alpha }}\\&\leq &C_{\alpha }\cdot \underbrace {{\big \|}\!{\big |}\tau (z^{k}){\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\beta }}} _{\leq D_{k}(\alpha )}\cdot {\big \|}\!{\big |}b^{k}\cdot \tau (x){\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\beta }}\\&\leq &C_{\alpha }\cdot D_{k}(\alpha )\cdot {\big \|}\!{\big |}b^{k}\cdot \tau (x){\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\beta }}=\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\\&\leq &C_{\alpha }\cdot D_{k}(\alpha )\cdot {\big \|}\!{\big |}b^{k}{\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\gamma }}\cdot {\big \|}\!{\big |}\tau (x){\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\gamma }}\\&\leq &C_{\alpha }\cdot D_{k}(\alpha )\cdot {\big \|}\!{\big |}b^{k}{\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\gamma }}\cdot C_{\widetilde {\gamma }}\cdot \|x\|_{\beta }\\\end{array}}$

Beweis 5 - Definition der Konstanten

Mit $D_{k}(\alpha ):=C_{\alpha }\cdot \max _{i\in \{0,...,k\}}\left({\big \|}\!{\big |}\tau (z^{i}){\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\beta }}\right)\cdot {\big \|}\!{\big |}b^{k}{\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\gamma }}\cdot C_{\widetilde {\gamma }}$ erhält man die Ungleichung:

$\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{k}(\alpha )\cdot \|x\|_{\beta }$

Beweis 6 - Abschätzung bezüglich z

Mit $b=z^{-1}\in B$ erhält man ferner:

${\begin{array}{rcl}\left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}&=&C_{\alpha }\cdot \left\|\!\left|\tau (z^{k+1})\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\cdot \left\|\!\left|b^{k+1}\cdot \tau (z\cdot x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\\&=&C_{\alpha }\cdot \left\|\!\left|\tau (z^{k+1})\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\cdot {\big \|}\!{\big |}\underbrace {b^{k+1}\cdot \tau (z)} _{=b^{k}}\cdot \tau (x){\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\beta }}\\&=&C_{\alpha }\cdot \left\|\!\left|\tau (z^{k+1})\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\cdot \left\|\!\left|b^{k}\cdot \tau (x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\\\end{array}}$

Beweis 7- Stetigkeit und Homöomorphie

Wahl der Konstanten $D_{k}(\alpha )>0$ für die Ungleichungen aus dem ${\mathcal {PC}}$-Regularitätslemma erfolgt nun insgesamt über die Stetigkeit des Algebraisomorphismus $\tau :A\to A'\subset B$ und von $\tau ^{-1}:A'\to A$ und der Verwendung der Ungleichung für die Stetigkeit der Multiplikation auf $B$.

Bemerkung TGP-Kriterium

In einer Beweisrichtung des TGP-Kriteriums kann man entnehmen, dass ein Sequenz von Gaugefunktionalen existiert, die man zwischen den gegeben Quasihalbnormen einschachteln kann. Damit ist noch nicht gesagt, dass diese Gaugefunktionale auch Quasihalbnormen sind.

Bemerkung

Da die lokalkonvexen Räume ein Spezialfall der pseudokonvexen Räume ist, ergibt sich als Korrollar unmittelbar das LC-Regularitätslemma.

LC-Regularitätslemma

Sei $z\in A$ ein ${\mathcal {PC}}_{e}^{k}$-regulär in ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}$, wenn es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine isotone Folge von Halbnormen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit positiven Konstanten ${\textstyle D_{(\alpha ,k)}}$ gibt, für die gilt:

• (LC1)${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ und
• (LC2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Siehe auch

• LC-Regularität
• PC-Regularität
• T-Regularität
• Topologisch kleine Potenzen
• T-Regularitätskriterium

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