Definition: Topologische große Potenzen
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Sei
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)}
ein unitale topologische Algebra. Ein
z
∈
A
{\textstyle z\in A}
besitzt topologisch große Potenzen (
z
∈
T
G
P
(
A
)
{\displaystyle z\in {\mathcal {TGP}}(A)}
), wenn es für alle
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
ein
β
∈
A
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}
und Konstanten
D
k
(
α
)
>
0
{\displaystyle D_{k}(\alpha )>0}
gibt, sodass für alle
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
gilt:
‖
x
‖
α
≤
D
k
(
α
)
⋅
‖
z
k
⋅
x
‖
β
{\displaystyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }}
Damit gilt unmittelbar
T
G
P
(
A
)
=
A
∖
T
K
P
(
A
)
{\displaystyle {\mathcal {TGP}}(A)=A\setminus {\mathcal {TKP}}(A)}
, weil die
T
G
P
{\displaystyle {\mathcal {TGP}}}
-Eigenschaft als Negation der Eigenschaft, topologisch kleine Potenzen zu besitzen, formuliert wurde.
Ein Element
z
∈
A
{\textstyle z\in A}
aus einer topologischen Algebra
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
K
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}
besitzt genau dann rechtsseitig topologisch kleine Potenzen, wenn es ein
α
∈
A
{\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
gibt, so dass für alle
β
∈
A
{\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}
ein
k
(
β
)
∈
N
{\textstyle k(\beta )\in \mathbb {N} }
mit
inf
‖
x
‖
α
=
1
‖
z
k
(
β
)
⋅
x
‖
β
=
0
{\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z^{k(\beta )}\cdot x\right\|_{\beta }=0}
existiert. Dies ist die Negation für die Eigenschaft, dass
z
{\textstyle z}
topologisch große Potenzen besitzt -
z
∉
T
G
P
(
A
)
{\textstyle z\notin {\mathcal {TGP}}(A)}
).
Ein Element
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
besitzt genau topologisch große Potenzen in
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
K
e
k
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}_{e}^{k}}
,
z
∈
A
{\textstyle z\in A}
(
z
∈
T
G
P
(
A
)
{\displaystyle z\in {\mathcal {TGP}}(A)}
, wenn es für alle
α
∈
A
{\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
ein
β
∈
A
{\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}
und eine isotone Folge von Gaugefunktionalen
(
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
)
k
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
mit positiven Konstanten
D
(
α
,
k
)
{\textstyle D_{(\alpha ,k)}}
gibt, für die gilt:
(R1)
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
(
α
,
k
)
≤
D
(
α
,
k
)
⋅
‖
x
‖
β
{\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
und
(R2)
‖
x
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
z
⋅
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
.
Die Beweisführung basiert auf der Verwendung der topologischen Eigenschaft
z
∈
T
G
P
(
A
)
{\displaystyle z\in {\mathcal {TGP}}(A)}
, um eine Eindeutigkeit der Komplementärteiler
y
{\displaystyle y}
von Potenzen
z
k
{\displaystyle z^{k}}
für die multiplikative Zerlegung
z
k
⋅
y
=
x
{\displaystyle z^{k}\cdot y=x}
für ein gegebenes
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
zu erhalten, wenn diese existiert. Die Teilermenge
T
k
(
x
)
{\displaystyle T_{k}(x)}
der Komplementärteiler von Potenzen
z
i
{\displaystyle z^{i}}
zu
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
mit
i
∈
{
0
,
1
,
…
k
}
{\displaystyle i\in \{0,1,\ldots k\}}
wird dann verwendet, um die
K
{\displaystyle {\mathcal {K}}}
-Funktionale
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}}
zu definieren.
Es ist eine Äquivalenz von
z
∈
T
G
P
(
A
)
{\displaystyle z\in {\mathcal {TGP}}(A)}
und den beiden Ungleichung aus dem Kriterium zu zeigen.
In Beweisteil (1) startet man mit
z
∈
T
G
P
(
A
)
{\displaystyle z\in {\mathcal {TGP}}(A)}
und zeigt (R1) und (R2).
In Beweisteil (2) startet man mit (R1) und (R2) als Vorausetzung und zeigt
z
∈
T
G
P
(
A
)
{\displaystyle z\in {\mathcal {TGP}}(A)}
.
Ist zusätzlich zum obigen Satz eine weitere Folge
(
C
k
)
k
∈
N
0
{\displaystyle (C_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
gegeben, so kann man die Konstantenfolgen
(
D
k
(
α
)
)
k
∈
N
0
{\displaystyle \left(D_{k}(\alpha )\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
ohne Einschränkung so wählen, dass diese
monoton wachsend (d.h.
D
k
(
α
)
+
D
(
α
,
k
)
≤
D
k
+
1
(
α
)
{\displaystyle D_{k}(\alpha )+D_{(\alpha ,k)}\leq D_{k+1}(\alpha )}
für alle
k
∈
N
0
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}
) und
C
k
≤
D
k
(
α
)
{\displaystyle C_{k}\leq D_{k}(\alpha )}
gilt.
Der Grund für die Konstruktion der Konstantenfolgen
(
D
k
(
α
)
)
k
∈
N
0
{\displaystyle \left(D_{k}(\alpha )\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
mit den vorher genannten Eigenschaften ist die Notwendigkeit, dass man bei der Stetigkeit des Algebraisomorphismus Konstanten für die Gaugefunktionale in der Polynomalgebra abschätzen muss. Genauer gesagt, Koeffizienten der Form
z
⋅
q
k
−
1
∈
A
{\displaystyle z\cdot q_{k-1}\in A}
für
t
k
{\displaystyle t^{k}}
mit einem Gaugefunktional mit Koeffizenten
q
k
−
1
∈
A
{\displaystyle q_{k-1}\in A}
für
t
k
−
1
{\displaystyle t^{k-1}}
abschätzen. Dabei muss gleichzeitig die Stetigkeit der Addition und Multiplikation erfüllt sein. Dabei muss die Konstantenfolge zusätzliche Eigenschaften berücktsichtigen, die über die Eigenschaft
C
k
≤
D
k
(
α
)
{\displaystyle C_{k}\leq D_{k}(\alpha )}
in das TGP-Kriterium integriert werden können.
(1.1) Negation - Topologische kleine Potenzen
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Aus
z
∈
T
G
P
(
A
)
{\displaystyle z\in {\mathcal {TGP}}(A)}
erhält man über die Negation der
T
K
P
{\displaystyle {\mathcal {TKP}}}
-Definition für
z
∉
T
K
P
(
A
)
{\textstyle z\notin {\mathcal {TKP}}(A)}
die Aussage, dass es für alle
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
ein
β
∈
A
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}
und Konstanten
D
k
(
α
)
>
0
{\displaystyle D_{k}(\alpha )>0}
gibt, sodass für alle
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
gilt:
‖
x
‖
α
≤
D
k
(
α
)
⋅
‖
z
k
⋅
x
‖
β
{\displaystyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }}
Über die Stetigkeit der Multiplikation zu dem
β
∈
A
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}
ein
γ
∈
A
{\displaystyle \gamma \in {\mathcal {A}}}
mit
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
ist eine Teiler von
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
genau dann, wenn es einen Komplementärteiler
y
∈
A
{\displaystyle y\in A}
gibt, mit
z
⋅
y
=
x
{\displaystyle z\cdot y=x}
.
Analog erhält man
z
k
∈
A
{\displaystyle z^{k}\in A}
ist eine Teiler von
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
genau dann, wenn es einen Komplementärteiler
y
∈
A
{\displaystyle y\in A}
gibt, mit
z
k
⋅
y
=
x
{\displaystyle z^{k}\cdot y=x}
.
(1.4) Eindeutigkeit der Komplementärteiler
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Der Komplementärteiler
y
∈
A
{\displaystyle y\in A}
von
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
bzgl.
z
k
∈
A
{\displaystyle z^{k}\in A}
ist mit der Regularitätsbedingung eindeutig bestimmt. Angenommen, es gibt zwei unterschiedliche Komplementärteile
y
1
≠
y
2
{\displaystyle y_{1}\not =y_{2}}
mit
z
k
⋅
y
1
=
x
{\displaystyle z^{k}\cdot y_{1}=x}
und
z
k
⋅
y
2
=
x
{\displaystyle z^{k}\cdot y_{2}=x}
, so gibt es mit der Hausdorff-Eigenschaft ein
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
mit:
0
<
‖
y
1
−
y
2
‖
α
{\displaystyle 0<\|y_{1}-y_{2}\|_{\alpha }}
(1.5) Abschätzung mit der TKP-Regularitätsbedingung
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Abschätzung mit der TKP-Regularitätsbedingung führt zum Widerspruch, denn es gilt
0
<
‖
y
1
−
y
2
‖
α
≤
D
k
(
α
)
⋅
‖
z
k
⋅
(
y
1
−
y
2
)
‖
β
=
D
k
(
α
)
⋅
‖
z
k
⋅
y
1
−
z
k
⋅
y
2
‖
β
=
D
k
(
α
)
⋅
‖
x
−
x
‖
β
=
0
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}0&<&\|y_{1}-y_{2}\|_{\alpha }\\&\leq &D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot (y_{1}-y_{2})\right\|_{\beta }\\&=&D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot y_{1}-z^{k}\cdot y_{2}\right\|_{\beta }\\&=&D_{k}(\alpha )\cdot \left\|x-x\right\|_{\beta }=0\end{array}}}
Nun definiert man mit der Eindeutigkeit der Komplementärteiler zu
z
k
{\displaystyle z^{k}}
bzgl.
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
folgende Mengen:
T
k
(
x
)
:=
{
y
∈
A
:
∃
i
∈
{
0
,
…
,
k
}
z
i
⋅
y
=
x
}
{\displaystyle T_{k}(x):=\left\{y\in A\,\colon \,\exists _{i\in \{0,\ldots ,k\}}z^{i}\cdot y=x\right\}}
T
k
(
x
)
≠
∅
{\displaystyle T_{k}(x)\not =\emptyset }
für alle
k
∈
N
0
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}
und
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
, denn
x
=
e
A
⋅
x
=
z
0
⋅
x
{\displaystyle x=e_{A}\cdot x=z^{0}\cdot x}
.
T
k
(
x
)
⊆
T
k
+
1
(
z
⋅
x
)
{\displaystyle T_{k}(x)\subseteq T_{k+1}(z\cdot x)}
, denn für
y
∈
T
k
(
x
)
{\displaystyle y\in T_{k}(x)}
gibt es ein
i
∈
{
0
,
…
,
k
}
{\displaystyle i\in \{0,\ldots ,k\}}
mit
z
i
⋅
y
=
x
{\displaystyle z^{i}\cdot y=x}
. Damit gilt die Gleichung
z
i
+
1
⋅
y
=
z
⋅
x
{\displaystyle z^{i+1}\cdot y=z\cdot x}
auch für
0
≤
i
≤
(
k
+
1
)
{\displaystyle 0\leq i\leq (k+1)}
und man erhält
y
∈
T
k
+
1
(
x
)
{\displaystyle y\in T_{k+1}(x)}
|
T
k
(
x
)
|
≤
k
+
1
{\displaystyle |T_{k}(x)|\leq k+1}
, denn mit der Eindeutigkeit der Komplementärteiler von
x
{\displaystyle x}
bzgl.
z
i
{\displaystyle z^{i}}
und
i
∈
{
0
,
…
,
k
}
{\displaystyle i\in \{0,\ldots ,k\}}
kann es maximal
k
+
1
{\displaystyle k+1}
Teiler von
x
{\displaystyle x}
in
T
k
(
x
)
{\displaystyle T_{k}(x)}
geben.
(1.8) Definition ein Folge von Gaugefunktionalen
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Mit der Eigenschaft
z
∉
T
K
P
(
A
)
{\textstyle z\notin {\mathcal {TKP}}(A)}
definiert man eine Sequenz von Gaugefunktionalen.
‖
x
‖
(
α
,
k
)
:=
max
y
∈
T
k
(
x
)
‖
y
‖
α
{\displaystyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}:=\max _{y\in T_{k}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }}
(1.9) Ungleichung für Folge von Gaugefunktionalen
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‖
z
⋅
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
=
max
y
∈
T
k
+
1
(
z
⋅
x
)
‖
y
‖
α
≥
max
y
∈
T
k
(
x
)
‖
y
‖
α
=
‖
x
‖
(
α
,
k
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}&=&\displaystyle \max _{y\in T_{k+1}(z\cdot x)}\left\|y\right\|_{\alpha }\\&\geq &\displaystyle \max _{y\in T_{k}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }=\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\end{array}}}
(1.10) Erstes Gaugefunktional in der Sequenz
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Das erste Gaugefunktional für
k
=
0
{\displaystyle k=0}
in der Sequenz stimmt mit
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
überein, denn mit
x
=
e
A
⋅
x
=
z
0
⋅
x
{\displaystyle x=e_{A}\cdot x=z^{0}\cdot x}
gilt:
T
0
(
x
)
=
{
x
}
{\displaystyle T_{0}(x)=\{x\}}
‖
x
‖
(
α
,
0
)
=
max
y
∈
T
0
(
x
)
‖
y
‖
α
=
‖
x
‖
α
{\displaystyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,0)}=\max _{y\in T_{0}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }=\left\|x\right\|_{\alpha }}
Die Isotonie der Sequenz
(
‖
x
‖
(
α
,
k
)
)
k
∈
N
0
{\displaystyle \left(\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
von Gaugefunktionalen ergibt sich unmittelbar aus der Definition und
T
k
(
x
)
⊆
T
k
+
1
(
x
)
{\displaystyle T_{k}(x)\subseteq T_{k+1}(x)}
:
‖
x
‖
(
α
,
k
)
=
max
y
∈
T
k
(
x
)
‖
y
‖
α
≤
max
y
∈
T
k
+
1
(
x
)
‖
y
‖
α
=
‖
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}&=&\displaystyle \max _{y\in T_{k}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }\\&\leq &\displaystyle \max _{y\in T_{k+1}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }=\left\|x\right\|_{(\alpha ,k+1)}\end{array}}}
(1.12) Abschätzung der Sequenz nach oben
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Die Isotonie der Sequenz
(
‖
x
‖
(
α
,
k
)
)
k
∈
N
0
{\displaystyle \left(\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
von Gaugefunktionalen ergibt sich unmittelbar aus der Definition:
‖
x
‖
(
α
,
k
)
=
max
y
∈
T
k
(
x
)
‖
y
‖
α
≤
max
y
∈
T
k
(
x
)
D
i
(
α
)
⏟
≤
D
k
(
α
)
⋅
‖
z
i
⋅
y
⏟
x
‖
β
≤
D
k
(
α
)
⋅
‖
x
‖
β
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}&=&\displaystyle \max _{y\in T_{k}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }\\&\leq &\displaystyle \max _{y\in T_{k}(x)}\underbrace {D_{i}(\alpha )} _{\leq D_{k}(\alpha )}\cdot \|\underbrace {z^{i}\cdot y} _{x}\|_{\beta }\\&\leq &\displaystyle D_{k}(\alpha )\cdot \|x\|_{\beta }\end{array}}}
Die Homogenität der Funktionale aus der Sequenz
(
‖
x
‖
(
α
,
k
)
)
k
∈
N
0
{\displaystyle \left(\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
ergibt sich unmittelbar aus der Definition denn mit
x
=
z
i
⋅
y
{\displaystyle x=z^{i}\cdot y}
gilt auch
λ
⋅
x
=
z
i
⋅
(
λ
⋅
y
)
{\displaystyle \lambda \cdot x=z^{i}\cdot (\lambda \cdot y)}
:
‖
λ
⋅
x
‖
(
α
,
k
)
=
max
y
∈
T
k
(
x
)
‖
λ
⋅
y
‖
α
=
|
λ
|
⋅
max
y
∈
T
k
(
x
)
‖
y
‖
α
=
|
λ
|
⋅
‖
x
‖
(
α
,
k
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|\lambda \cdot x\right\|_{(\alpha ,k)}&=&\displaystyle \max _{y\in T_{k}(x)}\left\|\lambda \cdot y\right\|_{\alpha }\\&=&\displaystyle |\lambda |\cdot \max _{y\in T_{k}(x)}\left\|y\right\|_{\alpha }=|\lambda |\cdot \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\end{array}}}
Existiert nun zu jedem
α
∈
A
{\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
ein
β
∈
A
{\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}
und eine isotone Folge von
K
{\displaystyle {\mathcal {K}}}
-Funktionalen
(
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
)
k
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
mit positiven Konstanten
D
k
(
α
)
{\textstyle D_{k}(\alpha )}
gibt, für die gilt:
(R1)
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
(
α
,
k
)
≤
D
k
(
α
)
⋅
‖
x
‖
β
{\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
und
(R2)
‖
x
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
z
⋅
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
(2.1) Umgekehrte Beweisrichtung - Einsetzen in Sequenz
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Durch Einsetzung erhält man
z
∈
T
G
P
(
A
)
{\displaystyle z\in {\mathcal {TGP}}(A)}
durch folgende Ungleichungskette:
‖
x
‖
α
≤
‖
z
⋅
x
‖
(
α
,
1
)
≤
…
≤
‖
z
k
⋅
x
‖
(
α
,
k
)
≤
D
k
(
α
)
‖
z
k
⋅
x
‖
β
{\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \|z\cdot x\|_{(\alpha ,1)}\leq \ldots \leq \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{k}(\alpha )\left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }}
Mit der Stetigkeit der Multiplikation kann man die Potenz auch noch weiter nach ober abschätzen, denn es gilt:
‖
x
‖
α
≤
D
k
(
α
)
⋅
‖
z
k
⋅
x
‖
β
≤
D
k
(
α
)
⋅
‖
z
k
‖
γ
⋅
‖
x
‖
γ
{\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \|z^{k}\|_{\gamma }\cdot \|x\|_{\gamma }}
Damit folgt insgesamt folgt die Behauptung.
◻
{\displaystyle \Box }
Sei
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
P
C
e
k
{\displaystyle {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}
-regulär in
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
P
C
e
k
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}
, dann gibt es für alle
α
∈
A
{\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
ein
β
∈
A
{\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}
und eine isotone Folge von Quasihalbnormen
(
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
)
k
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
mit der Stetigkeitskonstante der Addition
K
α
≥
1
{\displaystyle K_{\alpha }\geq 1}
und positive Konstanten
D
(
α
,
k
)
{\textstyle D_{(\alpha ,k)}}
gibt, für die gilt:
(PC1)
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
(
α
,
k
)
≤
D
(
α
,
k
)
⋅
‖
x
‖
β
{\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
und
(PC2)
‖
x
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
z
⋅
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
.
Das Element
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
sei ein
P
C
e
k
{\displaystyle {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}
-reguläres Element in Algebra
A
{\displaystyle A}
und in einer Algebraerweiterung
(
B
,
‖
|
⋅
|
‖
A
~
)
∈
P
C
e
k
{\textstyle \left(B,\left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\mathcal {\widetilde {A}}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}
von
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
P
C
e
k
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}
invertiertbar.
Da
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
in
B
{\displaystyle B}
invertierbar ist, sei
b
∈
B
{\displaystyle b\in B}
das eindeutig bestimmte Inverse zu
z
{\displaystyle z}
. Ferner sei
τ
:
A
→
A
′
⊂
B
{\displaystyle \tau :A\to A'\subset B}
der Algebraisomorphismus, der
A
{\displaystyle A}
in
B
{\displaystyle B}
einbettet.
Beweis 2 - Homöomorphie des Algebraisomorphismus
Bearbeiten
Die Homöomorphie des Algebraisomorphismus
τ
:
A
→
A
′
{\displaystyle \tau :A\to A'}
liefert
zu jedem
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
eine
α
~
∈
A
~
{\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}
mit
‖
x
‖
α
≤
C
α
⋅
‖
|
τ
(
x
)
|
‖
α
~
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }\cdot \left\|\!\left|\tau (x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\alpha }}}
zu jedem
α
~
∈
A
~
{\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}
gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation ein
β
~
∈
A
~
{\displaystyle {\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}
mit
‖
|
v
⋅
w
|
‖
α
~
≤
‖
|
v
|
‖
β
~
⋅
‖
|
w
|
‖
β
~
{\displaystyle \left\|\!\left|v\cdot w\right|\!\right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq \left\|\!\left|v\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\cdot \left\|\!\left|w\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}}
für alle
v
,
w
∈
B
{\displaystyle v,w\in B}
und
zu jedem
β
~
∈
A
~
{\displaystyle {\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}
gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation ein
γ
~
∈
A
~
{\displaystyle {\widetilde {\gamma }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}
mit
‖
|
v
⋅
w
|
‖
β
~
≤
‖
|
v
|
‖
γ
~
⋅
‖
|
w
|
‖
γ
~
{\displaystyle \left\|\!\left|v\cdot w\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\leq \left\|\!\left|v\right|\!\right\|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left\|\!\left|w\right|\!\right\|_{\widetilde {\gamma }}}
für alle
v
,
w
∈
B
{\displaystyle v,w\in B}
und
zu jedem
γ
~
∈
A
~
{\displaystyle {\widetilde {\gamma }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}
gibt es ein
β
∈
A
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}
mit
‖
|
τ
(
x
)
|
‖
β
~
≤
C
γ
~
⋅
‖
x
‖
β
{\displaystyle \left\|\!\left|\tau (x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\leq C_{\widetilde {\gamma }}\cdot \|x\|_{\beta }}
.
Beweis 3 - Definition der Quasihalbnormen
Bearbeiten
Zunächst werden Quasihalbnormen auf
B
{\displaystyle B}
wie folgt definiert mit
D
k
(
α
)
:=
max
i
=
0
k
‖
|
τ
(
z
i
)
|
‖
β
~
{\displaystyle D_{k}(\alpha ):=\max _{i=0}^{k}\left\|\!\left|\tau (z^{i})\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}}
:
‖
x
‖
(
α
,
k
)
:=
C
α
⋅
D
k
(
α
)
⋅
‖
|
b
k
⋅
τ
(
x
)
|
‖
β
~
mit
b
=
z
−
1
∈
B
{\displaystyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}:=C_{\alpha }\cdot D_{k}(\alpha )\cdot \left\|\!\left|b^{k}\cdot \tau (x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}{\mbox{ mit }}b=z^{-1}\in B}
Dabei ist
(
D
k
(
α
)
)
k
∈
N
o
{\displaystyle \left(D_{k}(\alpha )\right)_{k\in \mathbb {N} _{o}}}
eine monoton wachsende Folge, wegen
D
k
(
α
)
=
max
i
=
0
k
‖
|
τ
(
z
i
)
|
‖
β
~
≤
max
i
=
0
k
+
1
‖
|
τ
(
z
i
)
|
‖
β
~
=
D
k
+
1
(
α
)
{\displaystyle D_{k}(\alpha )=\max _{i=0}^{k}\left\|\!\left|\tau (z^{i})\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\leq \max _{i=0}^{k+1}\left\|\!\left|\tau (z^{i})\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}=D_{k+1}(\alpha )}
.
Beweis 4 - Abschätzung mit den Ungleichungen
Bearbeiten
Die Ungleichungskette ergibt sich durch die obigen Eigenschaften und
τ
(
z
k
)
=
τ
(
z
)
k
{\displaystyle \tau (z^{k})=\tau (z)^{k}}
:
‖
x
‖
α
≤
C
α
⋅
‖
|
τ
(
x
)
|
‖
α
~
=
C
α
⋅
‖
|
τ
(
z
k
)
⋅
b
k
⏟
=
e
B
⋅
τ
(
x
)
|
‖
α
~
≤
C
α
⋅
‖
|
τ
(
z
k
)
|
‖
β
~
⏟
≤
D
k
(
α
)
⋅
‖
|
b
k
⋅
τ
(
x
)
|
‖
β
~
≤
C
α
⋅
D
k
(
α
)
⋅
‖
|
b
k
⋅
τ
(
x
)
|
‖
β
~
=
‖
x
‖
(
α
,
k
)
≤
C
α
⋅
D
k
(
α
)
⋅
‖
|
b
k
|
‖
γ
~
⋅
‖
|
τ
(
x
)
|
‖
γ
~
≤
C
α
⋅
D
k
(
α
)
⋅
‖
|
b
k
|
‖
γ
~
⋅
C
γ
~
⋅
‖
x
‖
β
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|x\|_{\alpha }&\leq &C_{\alpha }\cdot \left\|\!\left|\tau (x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\alpha }}=C_{\alpha }\cdot {\big \|}\!{\big |}\underbrace {\tau (z^{k})\cdot b^{k}} _{=e_{B}}\cdot \tau (x){\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\alpha }}\\&\leq &C_{\alpha }\cdot \underbrace {{\big \|}\!{\big |}\tau (z^{k}){\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\beta }}} _{\leq D_{k}(\alpha )}\cdot {\big \|}\!{\big |}b^{k}\cdot \tau (x){\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\beta }}\\&\leq &C_{\alpha }\cdot D_{k}(\alpha )\cdot {\big \|}\!{\big |}b^{k}\cdot \tau (x){\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\beta }}=\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\\&\leq &C_{\alpha }\cdot D_{k}(\alpha )\cdot {\big \|}\!{\big |}b^{k}{\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\gamma }}\cdot {\big \|}\!{\big |}\tau (x){\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\gamma }}\\&\leq &C_{\alpha }\cdot D_{k}(\alpha )\cdot {\big \|}\!{\big |}b^{k}{\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\gamma }}\cdot C_{\widetilde {\gamma }}\cdot \|x\|_{\beta }\\\end{array}}}
Mit
D
k
(
α
)
:=
C
α
⋅
max
i
∈
{
0
,
.
.
.
,
k
}
(
‖
|
τ
(
z
i
)
|
‖
β
~
)
⋅
‖
|
b
k
|
‖
γ
~
⋅
C
γ
~
{\displaystyle D_{k}(\alpha ):=C_{\alpha }\cdot \max _{i\in \{0,...,k\}}\left({\big \|}\!{\big |}\tau (z^{i}){\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\beta }}\right)\cdot {\big \|}\!{\big |}b^{k}{\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\gamma }}\cdot C_{\widetilde {\gamma }}}
erhält man die Ungleichung:
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
(
α
,
k
)
≤
D
k
(
α
)
⋅
‖
x
‖
β
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{k}(\alpha )\cdot \|x\|_{\beta }}
Mit
b
=
z
−
1
∈
B
{\displaystyle b=z^{-1}\in B}
erhält man ferner:
‖
z
⋅
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
=
C
α
⋅
‖
|
τ
(
z
k
+
1
)
|
‖
β
~
⋅
‖
|
b
k
+
1
⋅
τ
(
z
⋅
x
)
|
‖
β
~
=
C
α
⋅
‖
|
τ
(
z
k
+
1
)
|
‖
β
~
⋅
‖
|
b
k
+
1
⋅
τ
(
z
)
⏟
=
b
k
⋅
τ
(
x
)
|
‖
β
~
=
C
α
⋅
‖
|
τ
(
z
k
+
1
)
|
‖
β
~
⋅
‖
|
b
k
⋅
τ
(
x
)
|
‖
β
~
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}&=&C_{\alpha }\cdot \left\|\!\left|\tau (z^{k+1})\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\cdot \left\|\!\left|b^{k+1}\cdot \tau (z\cdot x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\\&=&C_{\alpha }\cdot \left\|\!\left|\tau (z^{k+1})\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\cdot {\big \|}\!{\big |}\underbrace {b^{k+1}\cdot \tau (z)} _{=b^{k}}\cdot \tau (x){\big |}\!{\big \|}_{\widetilde {\beta }}\\&=&C_{\alpha }\cdot \left\|\!\left|\tau (z^{k+1})\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\cdot \left\|\!\left|b^{k}\cdot \tau (x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\beta }}\\\end{array}}}
Wahl der Konstanten
D
k
(
α
)
>
0
{\displaystyle D_{k}(\alpha )>0}
für die Ungleichungen aus dem
P
C
{\displaystyle {\mathcal {PC}}}
-Regularitätslemma erfolgt nun insgesamt über die Stetigkeit des Algebraisomorphismus
τ
:
A
→
A
′
⊂
B
{\displaystyle \tau :A\to A'\subset B}
und von
τ
−
1
:
A
′
→
A
{\displaystyle \tau ^{-1}:A'\to A}
und der Verwendung der Ungleichung für die Stetigkeit der Multiplikation auf
B
{\displaystyle B}
.
In einer Beweisrichtung des TGP-Kriteriums kann man entnehmen, dass ein Sequenz von Gaugefunktionalen existiert, die man zwischen den gegeben Quasihalbnormen einschachteln kann. Damit ist noch nicht gesagt, dass diese Gaugefunktionale auch Quasihalbnormen sind.
Da die lokalkonvexen Räume ein Spezialfall der pseudokonvexen Räume ist, ergibt sich als Korrollar unmittelbar das LC-Regularitätslemma.
Sei
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
ein
P
C
e
k
{\displaystyle {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}
-regulär in
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
P
C
e
k
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}
, wenn es für alle
α
∈
A
{\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
ein
β
∈
A
{\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}
und eine isotone Folge von Halbnormen
(
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
)
k
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
mit positiven Konstanten
D
(
α
,
k
)
{\textstyle D_{(\alpha ,k)}}
gibt, für die gilt:
(LC1)
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
(
α
,
k
)
≤
D
(
α
,
k
)
⋅
‖
x
‖
β
{\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
und
(LC2)
‖
x
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
z
⋅
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
.