Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 5

Verknüpfungen

Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a-b.$

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit dem Betrag der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto \vert {a-b}\vert .$

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

Aufgabe

Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge

$\{G,U\}$

eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.

Aufgabe

Es sei ${}S$ eine Menge und

${}M=\operatorname {Abb} \,{\left(S,S\right)}\,$

sei versehen mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung. Ist die Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es ein (eindeutiges) neutrales Element, für welche ${}F\in M$ gibt es ein inverses Element?

Aufgabe

Es sei ${}M$ die Menge der Abbildungen einer zweielementigen Menge in sich selbst, also

${}M={\left\{F:\{0,1\}\rightarrow \{0,1\}\mid F{\text{ Abbildung}}\right\}}\,.$

Benenne die Elemente aus ${}M$ und lege eine Wertetabelle für die Verknüpfung auf ${}M$ an, die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen definiert ist.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine Menge und ${}M$ eine Menge mit einer Verknüpfung

$\star \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\star y.$

Definiere auf der Abbildungsmenge

$\operatorname {Abb} \,(I,M)={\left\{F:I\rightarrow M\mid F{\text{ Abbildung}}\right\}}$

eine Verknüpfung unter Bezug auf die vorgegebene Verknüpfung. Übertragen sich die Eigenschaften Assoziativität, Kommutativität, Existenz eines neutralen Elementes, Existenz von inversen Elementen?

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und

$F\colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto F(x,y),$

eine Verknüpfung. Formuliere verschiedene Verknüpfungseigenschaften in dieser (unüblichen) Notation.

Aufgaben zu Peano-Axiomen

Aufgabe *

Zeige, das zwei Mengen ${}\mathbb {N} _{1}$ und ${}\mathbb {N} _{2}$, die beide die Dedekind-Peano-Axiome erfüllen, zueinander isomorph sind. Man gebe also eine bijektive Abbildung ${}\mathbb {N} _{1}\rightarrow \mathbb {N} _{2}$ an, die ${}0_{1}$ in ${}0_{2}$ überführt und die die Nachfolgeabbildungen respektiert.

Aufgabe *

Zeige ausgehend von den Dedekind-Peano-Axiomen, dass jedes Element ${}n\in {\mathbb {N} }$, ${}n\neq 0$, einen Vorgänger besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {N} }$ eine Menge, die die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt. Definiere eine „natürliche“ Addition auf ${}{\mathbb {N} }$ und zeige, dass diese Addition kommutativ und assoziativ ist und ${}0$ als neutrales Element besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {N}$ eine Menge, die die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt. Definiere eine „natürliche“ Multiplikation auf ${}\mathbb {N}$. Zeige, dass diese Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, und dass sie ${}1:=0'$ als neutrales Element besitzt.

Zeige ferner, dass für diese Multiplikation und für die in Aufgabe 10 definierte Addition das Distributivgesetz gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die übliche Addition und Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen (also das schriftliche Addieren und Multiplizieren durch gewisse Ziffernmanipulationen im Zehnersystem) korrekt ist.

Induktionsaufgaben

Aufgabe

Formuliere das Induktionsprinzip für Aussagen quantorenlogisch.

Aufgabe

Beweise durch Induktion die folgenden Formeln.

1. ${}\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\,,$

2. ${}\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\,.$

3. ${}\sum _{i=1}^{n}i^{3}={\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)}^{2}\,.$

Aufgabe *

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ${}1$) stets eine Quadratzahl ist.

Aufgabe

Man gebe eine Formel an für die Differenz zwischen der Summe der ersten ${}n$ geraden Kubikzahlen und der Summe der ersten ${}n$ ungeraden Kubikzahlen.

Aufgabe *

Es sei ${}x$ eine reelle Zahl, ${}x\neq 1$. Beweise für ${}n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung

${}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass mit der einzigen Ausnahme ${}n=3$ die Beziehung

${}2^{n}\geq n^{2}\,$

gilt.

Aufgabe

Die Folge ${}a_{n},\,n\in \mathbb {N}$, sei rekursiv durch

$a_{1}=1{\text{ und }}a_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}ka_{k}{\text{ für }}n\geq 2$

definiert. Zeige, dass für ${}n\geq 2$

${}a_{n}={\frac {1}{2}}n!\,$

gilt.

Aufgabe

Beweise durch Induktion die Abschätzung

${}1\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}\leq n^{\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

Aufgaben zu Binomialkoeffizienten

Aufgabe *

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,$

erfüllen.

Aufgabe

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind.

Aufgabe

Beweise die Formel

${}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,.$

Rechne dies explizit für ${}n\leq 6$ nach.

Aufgabe

Beweise die Formel

${}n2^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}P$ die Potenzmenge von ${}M$. Betrachte die Relation ${}T$ auf ${}P$, die durch

$T(A,B){\text{ genau dann, wenn }}A\subseteq B$

gegeben ist (dabei sind also ${}A$ und ${}B$ Teilmengen von ${}M$). Bestimme die Anzahl der Elemente dieser Relation, wenn ${}M$ ${}n$ Elemente besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}P$ die Potenzmenge von ${}M$. Betrachte die Relation ${}D$ auf ${}P$, die durch

$D(A,B){\text{ genau dann, wenn }}A\cap B=\emptyset$

gegeben ist (dabei sind also ${}A$ und ${}B$ Teilmengen von ${}M$). Bestimme die Anzahl der Elemente dieser Relation, wenn ${}M$ ${}n$ Elemente besitzt.