Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 7
Aufgabe (2 Punkte)
Berechne zu und die Vielfachen für und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen und . Berechne damit die Vorzeichen und bestätige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.
Die folgende Aufgabe verallgemeinert das
Eulersche Kriterium für beliebige Potenzreste.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Primzahl und sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass ein Element genau dann eine -te Wurzel besitzt, wenn ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine ungerade Primzahl und primitiv. Zeige, dass von den Elementen aus , die auf abgebildet werden, genau Stück primitiv in sind. Finde für und dasjenige Element mit , das nicht primitiv ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Finde die Lösungen der Kongruenz
Aufgabe (2 Punkte)
Die Seite
enthält einen Beweis für das das Gaußsche Vorzeichenlemma. Kopieren Sie den Inhalt der Seite in eine Unterseite Ihrer Benutzerseite (am besten mit {{subst::}}). Begründen Sie in den an den roten Gleichheitszeichen verankerten Links, warum die Gleichungen stimmen. Sagen Sie insbesondere, ob die Gleichheit in gilt oder nur .
Aufgabe (3 Punkte)
Charakterisiere diejenigen positiven ungeraden Zahlen mit der Eigenschaft, dass bei dem in Aufgabe 5.13 beschriebenen Algorithmus genau zwei ungerade Zahlen auftreten (nämlich und ).
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass im Restklassenring die Äquivalenz gilt, dass zwei Elemente genau dann assoziiert sind, wenn ist.
Finde eine Charakterisierung für diese Äquivalenzrelation, die auf den Primfaktorzerlegungen von und aufbaut.
Die folgende Aufgabe setzt eine gewisse Routine im Umgang mit kommutativen Ringen voraus.
Aufgabe (4 Punkte)
Man gebe ein Beispiel von zwei Elementen und eines kommutativen Ringes derart, dass ist, dass aber und nicht assoziiert sind.
Dafür ist die folgende Aufgabe für Leute gedacht, die gerne Diagramme am Computer erstellen.
Aufgabe (2-4 Punkte)
Erstelle einen Diagrammstammbaum, der für alle Zahlen (oder nur alle ungeraden Zahlen) die Wirkungsweise des in Aufgabe 5.13 beschriebenen Algorithmus widergibt. Der Übersichtlichkeit halber könnte es sinnvoll sein, nur die Schritte von einer ungeraden Zahl zur algorithmisch folgenden ungeraden Zahl darzustellen. Die sollte die (Ziel-)Wurzel des Stammbaums sein. Ein solches Diagramm kann direkt in Wikiversity erstellt werden oder aber in einem von Wiki-Commons akzeptierten Format (dort hochladen und hier einbinden).
Die Begriffe teilen, irreduzibel und prim machen in jedem
Monoid
Sinn
(nicht nur im multiplikativen Monoid eines Ringes).
In den folgenden Aufgaben werden Teilbarkeitseigenschaften in einigen kommutativen Monoiden besprochen. Da diese Aufgaben sich ähneln, können dafür maximal nur 5 Punkte gut geschrieben werden.
Aufgabe (3 Punkte)
Betrachte die Menge derjenigen positiven Zahlen, die modulo den Rest haben. Zeige, dass mit der Multiplikation ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von . Zeige, dass in jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in gilt.
Aufgabe (3 Punkte)
Betrachte die Menge der positiven geraden Zahlen zusammen mit . Zeige, dass ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von . Zeige, dass in jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in gilt.
Aufgabe (2 Punkte)
Betrachte die natürlichen Zahlen als kommutatives Monoid mit der Addition und neutralem Element . Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von diesem Monoid. Gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung?
