Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 2

Definition

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}0\in {\mathfrak {a}}$.
2. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
3. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.

Bemerkung  

Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von ${}R$, die zusätzlich unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Ein Ideal ist das Gleiche wie ein ${}R$- Untermodul von ${}R$.

Definition

Zu einer Familie von Elementen ${}a_{j}\in R$, ${}j\in J$, in einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet ${}(a_{j}:j\in J)$ das von den ${}a_{j}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

$\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$

wobei ${}J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und ${}r_{j}\in R$ ist.

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form

${}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$

heißt Hauptideal.

Mit dem Idealbegriff lassen sich Teilbarkeitsbeziehungen ausdrücken.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a,b\in R$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Element ${}a$ ist ein Teiler von ${}b$ (also ${}a{|}b$), genau dann, wenn ${}(b)\subseteq (a)$.
2. ${}a$ ist eine Einheit genau dann, wenn ${}(a)=R=(1)$.
3. Ist ${}R$ ein Integritätsbereich, so gilt ${}(a)=(b)$ genau dann, wenn ${}a$ und ${}b$ assoziiert sind.

Beweis

Siehe Aufgabe 2.5.

$\Box$

Definition

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.

Größter gemeinsamer Teiler

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$. Dann heißt ein Element ${}t\in R$ gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt (${}i=1,\ldots ,k$). Ein Element ${}g\in R$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler ${}t$ dieses ${}g$ teilt.

Die Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn ${}1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

Bemerkung  

Eine Einheit ist immer ein gemeinsamer Teiler für jede Auswahl von Elementen. Ein größter gemeinsamer Teiler muss im Allgemeinen nicht existieren. Ist ${}t$ ein gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ und ${}u$ eine Einheit, so ist auch ${}ut$ ein gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$. Die Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ sind teilerfremd genau dann, wenn jeder gemeinsame Teiler davon eine Einheit ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ und ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ das davon erzeugte Ideal. Ein Element ${}t\in R$ ist ein gemeinsamer Teiler von ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$ ist, und ${}t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes ${}s\in R$ mit ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (s)$ folgt, dass ${}(t)\subseteq (s)$ ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von ${}{\mathfrak {a}}$.

Beweis

Aus ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$ folgt sofort ${}(a_{i})\subseteq (t)$ für ${}i=1,\ldots ,k$, was gerade bedeutet, dass ${}t$ diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt ${}t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist ${}a_{i}\in (t)$ und da ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ das kleinste Ideal ist, das alle ${}a_{i}$ enthält, muss ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$ gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.

$\Box$

Bevor wir mit der Teilbarkeitstheorie für Hauptidealbereiche fortfahren, wollen wir zunächst zeigen, dass die ganzen Zahlen einen Hauptidealbereich bilden. Dies geschieht über den Begriff des Euklidischen Bereiches, der an die Division mit Rest anknüpft. Im Ring der ganzen Zahlen gilt die Division mit Rest. Ihre Bedeutung liegt grob gesprochen darin, dass sie ein Maß dafür liefert, wie weit eine Zahl davon entfernt ist, eine andere zu teilen.

Division mit Rest

Für ganze Zahlen ${}a,b$, ${}b\neq 0$,, gibt es (eindeutig bestimmte) ganze Zahlen ${}q,r$ mit

$a=qb+r{\mbox{ und }}0\leq r<\vert {b}\vert .$

Dabei bezeichnet ${}{|}\,\,{|}$ den Betrag einer ganzen Zahl. Das Symbol ${}q$ soll dabei an Quotient erinnern und ${}r$ an Rest. Teilt man die Gleichung durch ${}b$, so erhält man in ${}\mathbb {Q}$ die Beziehung

${\frac {a}{b}}=q+{\frac {r}{b}}{\mbox{ mit }}q\in {\mathbb {Z} }{\text{ und }}0\leq {\frac {r}{b}}<1.$

Definition

Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich ${}R$, für den eine Abbildung ${}\delta \colon R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

Für Elemente ${}a,b$ mit ${}b\neq 0$ gibt es ${}q,r\in R$ mit

$a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).$

Die in der Definition auftauchende Abbildung ${}\delta$ nennt man auch euklidische Funktion. Die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ bilden also einen euklidischen Ring mit dem Betrag als euklidischer Funktion.

Beispiel

Für einen Körper ${}K$ ist der Polynomring ${}K[X]$ in einer Variablen ein euklidischer Bereich, wobei die euklidische Funktion ${}\delta$ durch die Gradfunktion gegeben ist. Viele Parallelen zwischen dem Polynomring ${}K[X]$ und ${}\mathbb {Z}$ beruhen auf dieser Eigenschaft. Die Gradfunktion hat die Eigenschaft

${}\delta (fg)=\delta (f)+\delta (g)\,.$

Beispiel

Gaußsche Zahlen als Gitterpunkte in der komplexen Zahlenebene

Eine Gaußsche Zahl ${}z$ ist durch ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ gegeben, wobei ${}a$ und ${}b$ ganze Zahlen sind. Die Menge dieser Zahlen wird mit ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ bezeichnet. Die Gaußschen Zahlen sind die Gitterpunkte, d.h. die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, in der komplexen Ebene. Sie bilden mit komponentenweiser Addition und mit der induzierten komplexen Multiplikation einen kommutativen Ring.

Eine euklidische Funktion ist durch die Norm ${}N$ gegeben, die durch ${}N(a+b{\mathrm {i} }):=a^{2}+b^{2}$ definiert ist. Man kann auch ${}N(z)=z\cdot {\overline {z}}$ schreiben, wobei ${}{\overline {z}}$ die komplexe Konjugation bezeichnet. Die Norm ist das Quadrat des komplexen Absolutbetrages und wie dieser multiplikativ, also ${}N(zw)=N(z)N(w)$.

Mit der Norm lassen sich auch leicht die Einheiten von ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ bestimmen: ist ${}wz=1$, so ist auch ${}N(zw)=N(z)N(w)=1$, also ${}N(z)=1$. Damit sind genau die Elemente ${}\{1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }\}$ diejenigen Gaußschen Zahlen, die Einheiten sind.

Lemma

Der Ring der Gaußschen Zahlen ist mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich.

Beweis

Es seien ${}w,z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$, ${}z\neq 0$. Wir betrachten den Quotienten

${}{\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{z{\bar {z}}}}=q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }\,.$

Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also ${}q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q}$. Es gibt ganze Zahlen ${}a_{1},a_{2}$ mit ${}\vert {q_{1}-a_{1}}\vert ,\vert {q_{2}-a_{2}}\vert \leq 1/2$. Damit ist

${}q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }=a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }+(q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\,$

mit ${}a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Ferner ist

${}{\begin{aligned}N((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })&=(q_{1}-a_{1})^{2}+(q_{2}-a_{2})^{2}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\\&<1.\end{aligned}}$

Multiplikation mit ${}z$ ergibt

${}w=z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })+z((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })\,.$

Der rechte Summand gehört dabei zu ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$, da man ihn als ${}w-z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })$ schreiben kann. Aus der Multiplikativität der Norm folgt

$N{\left(z{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}\right)}=N(z)N{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}<N(z)\,.$

$\Box$

Für eine unvollständige Liste von Primfaktorzerlegungen im Ring der Gaußschen Zahlen siehe hier oder hier.

Folgendes Lemma hilft bei der Bestimmung der Primelemente der Gaußschen Zahlen und in ähnlichen Ringen.

Lemma

Es sei ${}R$ ein euklidischer Bereich mit einer multiplikativen euklidischen Funktion

$N\colon R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}$

(es werden also nur positive Werte angenommen). Ist dann für ${}f\in R$ die Zahl ${}N(f)$ prim, so ist ${}f$ irreduzibel in ${}R$.

Beweis

Es sei ${}f=gh$ eine Faktorzerlegung. Dann ist ${}N(f)=N(g)N(h)$ und da nach Voraussetzung ${}N(f)$ eine Primzahl ist, folgt, dass einer der Faktoren, sagen wir ${}N(h)$, eine Einheit ist, also ${}N(h)=1$. Wir wenden auf ${}1$ und ${}h$ die Division mit Rest an und erhalten

${}1=qh+r\,,$

wobei ${}r=0$ ist oder ${}N(r)<N(h)=1$. Letzteres ist aber ausgeschlossen, sodass ${}r=0$ sein muss und damit ist ${}h$ eine Einheit. Also ist ${}f$ irreduzibel.

$\Box$

Wir werden später sehen, dass in euklidischen Bereichen irreduzible Elemente bereits prim sind. Das vorstehende Lemma ist also ein Kriterium für Primelemente. Die Umkehrung gilt übrigens nicht. Z. B. ist ${}3$ ein Primelement in ${}\mathbb {Z} [i]$, aber ${}N(3)=9$ ist keine Primzahl.

Nach den Gaußschen Zahlen sind die sogenannten Eisenstein-Zahlen ein wichtiges Beispiel für quadratische Zahlbereiche.

Beispiel

Eisenstein-Zahlen als Punkte eines Dreiecksgitters in der komplexen Zahlenebene

Die Eisenstein-Zahlen sind komplexe Zahlen der Form

${}z=a+b{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}\right)}\,$

mit ganzen Zahlen ${}a$ und ${}b$. Insbesondere ist

${}\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}=e^{2\pi \mathrm {i} /3}\,$

eine Eisenstein-Zahl. Diese Zahl ist zugleich eine (primitive) dritte Einheitswurzel (also $\omega ^{3}=1$), sodass der Ring der Eisenstein-Zahlen zugleich der dritte Kreisteilungsring ist. Wegen ${}\omega ^{3}-1=(\omega -1)(\omega ^{2}+\omega +1)$ und

${}\omega \neq 1\,$

gilt die Gleichung

${}\omega ^{2}+\omega +1=0\,.$

Die Eisenstein-Zahlen enthalten den Ring ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {-3}}$. Im obigen Bild besteht dieser Ring aus jeder zweiten horizontalen Zeile des Gitters und ist damit ein rechtwinkliges Gitter. Es gilt der folgende Satz.

Satz

Für den Ring ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ ist die Norm (das Quadrat des komplexen Betrages) keine euklidische Funktion, aber für den Ring der Eisenstein-Zahlen ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ mit ${}\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ ist die Norm eine euklidische Funktion.

Beweis

Wie dem Beweis zur Euklidizität der Gaußschen Zahlen zu entnehmen ist, ist für einen Unterring der komplexen Zahlen der Form ${}\Gamma =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} x$ (mit ${}x\notin \mathbb {R}$) die Norm eine euklidische Funktion genau dann, wenn sich zu jedem Element ${}z\in \mathbb {Q} (\Gamma )=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} x$ ein Element ${}u\in \Gamma$ findet, das zu ${}z$ einen Abstand kleiner als ${}1$ besitzt. Es sei zunächst ${}\Gamma =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {-3}}$. Das Element ${}\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\in \mathbb {Q} (\Gamma )$ hat den minimalen Abstand zu den vier Gitterpunkten ${}(0,0),(-1,0),(0,{\sqrt {3}}),(-1,{\sqrt {3}})$, und dieser ist stets

${}\vert {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\vert ={\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}}}=1\,.$

Für den Ring der Eisenstein-Zahlen ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ sind die Gittermaschen gleichmäßige Dreiecke mit Seitenlänge eins, und jede komplexe Zahl hat zu mindestens einem Gitterpunkt einen Abstand ${}<1$.

$\Box$

Es lässt sich zeigen, dass der Ring ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ auch keine andere euklidische Funktion besitzt (er ist auch kein Hauptidealbereich, noch nicht mal, wie wir später sehen und erklären werden, normal).

Eine wichtige Konsequenz aus der Existenz einer euklidischen Funktion ist, dass ein Hauptidealbereich vorliegt.

Satz

Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich.

Beweis

Es sei ${}I$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge

${\left\{\delta (a)\mid a\in I,\,a\neq 0\right\}}.$

Diese Menge hat ein Minimum ${}m$, das von einem Element ${}b\in I,\,b\neq 0$, herrührt, sagen wir ${}m=\delta (b)$. Wir behaupten, dass ${}I=(b)$ ist. Dabei ist die Inklusion „${}\supseteq$“ klar. Zum Beweis der Inklusion „${}\subseteq$“ sei ${}a\in I$ gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt ${}a=qb+r$ mit ${}r=0$ oder ${}\delta (r)<\delta (b)$. Wegen ${}r\in I$ und der Minimalität von ${}\delta (b)$ kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist ${}r=0$ und ${}a$ ist ein Vielfaches von ${}b$.

$\Box$

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