Lineare Abbildungen/K/Nur Zahlenraum/Einführung/Textabschnitt
Eine lineare Funktion über einem Körper ist einfach eine Abbildung der Form
mit einer Konstanten (einem Proportionalitätsfaktor), die bei einem angeordneten Körper den Anstieg des Graphen beschreibt. Ein einzelnes Element kann man als eine -Matrix auffassen. Wir dehnen das lineare Konzept auf Abbildungen zwischen Standardräumen aus und wir werden sehen, dass diese durch Matrizen beschrieben werden können.
Es sei ein Körper und . Eine Abbildung
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
- für alle .
- für alle und .
Es stehen verschiedene Produkte zum Verkauf, wobei das -te Produkt (pro Einheit) kostet. Ein Einkauf wird durch das -Tupel
repräsentiert, wobei die vom -ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch beschrieben. Die Preisabbildung
ist linear. Dies beruht auf
und
Inhaltlich bedeutet dies beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf tätigt und eine Woche später den Einkauf , dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag gekauft hätte.
Es sei ein Körper und sei der -dimensionale Standardraum. Dann ist die -te Projektion, also die Abbildung
eine -lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die -te Projektion heißt auch die -te Koordinatenfunktion.
Die beiden folgenden Beispiele entstammen der elementaren Geometrie.
Es sei ein Körper und sei eine lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Es ist .
- Für jede Linearkombination in gilt
Beweis
Es sei ein Körper und seien und lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die
Hintereinanderschaltung
ist ebenfalls linear.
- Wenn
bijektiv
ist, so ist auch die
Umkehrabbildung
linear.
Beweis
Nach
Fakt
wird unter einer linearen Abbildung die auf die abgebildet. Die Menge aller Vektoren, die unter einer linearen Abbildung auf abgebildet werden, ist für die Abbildung charakteristisch und bekommt einen eigenen Namen.
Der Kern ist einfach das Urbild des Nullvektors und wird auch mit bezeichnet. Er ist ein Untervektorraum des , siehe Aufgabe.
Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
keinen anderen Vektor
mit
geben. Also ist
.
Es sei umgekehrt
und seien
gegeben mit
.
Dann ist wegen der Linearität
Daher ist
und damit
.
So, wie eine lineare Funktion
durch den Wert an einer einzigen Stelle festgelegt ist, was die Grundlage für Dreisatzaufgaben ist, sind lineare Abbildungen
durch die Werte auf einer Basis des festgelegt. Der folgende Satz beweist dies für die Standardbasis, siehe
Aufgabe
für den allgemeinen Fall. Für entsprechende „Mehrsatzaufgaben“ siehe u. A.
Aufgabe,
Aufgabe
und
Aufgabe.
Es sei ein Körper und . Es seien , , Elemente in .
Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
mit
wobei den -ten Standardvektor bezeichnet.
Da sein soll und eine lineare Abbildung nach Fakt (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft
erfüllt, und jeder Vektor
sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine
Abbildung
indem wir jeden Vektor mit der gegebenen Standardbasis als
schreiben und
ansetzen. Da die Darstellung von als eine solche
Linearkombination
eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren
und
gilt
Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe
Aufgabe.