Lokaler regulärer Ring/Homologische Charakterisierung/Textabschnitt

Der folgende Satz heißt Satz von Hilbert-Serre. Von Hilbert ist dabei die graduierte Situation, die wir kurz in Bemerkung erläutern.

Jean-Pierre Serre ist der dritte von links.

Satz

Für einen lokalen noetherschen Ring ${}R$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist regulär.
2. Jeder endliche ${}R$-Modul besitzt eine endliche projektive Dimension (und zwar ${}\leq \operatorname {dim} {\left(R\right)}$).
3. Der Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}$ besitzt endliche projektive Dimension.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Wir führen Induktion über die Dimension ${}d$ von ${}R$. Wenn ${}d=0$ ist, so liegt ein Körper vor, und ein endlicher ${}R$-Modul ist einfach ein endlichdimensionaler Vektorraum. Diese besitzen eine Basis und sind somit frei, besitzen also die projektive Dimension ${}0$. Es sei also nun ${}d\geq 1$ und die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. Wir nehmen ein ${}f\in {\mathfrak {m}}\setminus {\mathfrak {m}}^{2}$, was es nach dem Lemma von Nakayama geben muss. Nach Fakt ist der Restklassenring ${}R/(f)$ ebenfalls regulär und hat kleinere Dimension. Es sei nun ${}M$ ein endlicher ${}R$-Modul. Wenn ${}M$ frei ist, so ist die Aussage klar. Es sei ${}M$ nicht frei (insbesondere nicht ${}0$) und

$\cdots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

eine minimale freie Auflösung. Es ist zu zeigen, dass diese endlich ist. Es sei ${}N$ der Kern der Abbildung ${}F_{0}\rightarrow M$. Wir schneiden die Auflösung ab und erhalten eine minimale freie Auflösung

$\cdots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow N=\operatorname {kern} \varphi _{0}\longrightarrow 0.$

Da ${}M$ nicht frei ist, ist ${}N$ nicht der Nullmodul.

Da ${}f$ nach Fakt ein Nichtnullteiler in ${}R$ ist und ${}N$ ein Untermodul eines freien Moduls ist, folgt, dass ${}f$ auch ein Nichtnullteiler für ${}N$ ist. Wir können somit Fakt anwenden und erhalten einen exakten Komplex

$\cdots \longrightarrow F_{2}/fF_{2}\longrightarrow F_{1}/fF_{1}\longrightarrow N/fN\longrightarrow 0.$

Dieser ist eine freie Auflösung des ${}R/(f)$-Moduls ${}N/fN$. Er ist minimal: Der Rang von ${}F_{1}$ ist die minimale Erzeugendenzahl von ${}N$ über ${}R$ und diese ist die ${}K$-Dimension von ${}N/{\mathfrak {m}}N$, die wiederum die minimale Erzeugendenzahl von ${}N/fN$ über ${}R/(f)$ ist. Entsprechend muss man für ${}F_{2},F_{3},\ldots$ argumentieren. Nach Induktonsvoraussetzung ist

${}F_{n}/fF_{n}=0\,$

für ein ${}n$. Wegen ${}f\in {\mathfrak {m}}$ muss dann aber schon ${}F_{n}=0$ sein.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Das ist eine Einschränkung.
${}(3)\Rightarrow (1)$. Es sei

$0\longrightarrow F_{n}\longrightarrow \cdots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}=R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0$

eine minimale freie Auflösung des Restklassenkörpers. Wir zeigen durch Induktion über ${}n$, dass ${}R$ regulär ist. Bei ${}n=0$ wird der exakte Komplex zu

$0\longrightarrow F_{0}=R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0,$

d.h. ${}R$ ist isomorph zu seinem Restekörper und somit selbst ein Körper, also insbesondere regulär. Es sei nun

${}n\geq 1$ und die Aussage für kleinere ${}n$ bewiesen. Wir betrachten das linke Ende der Auflösung

$0\longrightarrow F_{n}\longrightarrow F_{n-1}\longrightarrow \ldots ,$

wobei ${}F_{n}$ und ${}F_{n-1}$ frei und nicht ${}0$ sind. Das Bild liegt in ${}{\mathfrak {m}}F_{n-1}$ wegen der Minimalität und wegen ${}n\geq 1$. Wir behaupten, dass ${}{\mathfrak {m}}$ kein assoziiertes Primideal von ${}R$ ist. Andernfalls wäre

${}{\mathfrak {m}}=\operatorname {Ann} _{}{\left(h\right)}\,$

für ein ${}h\in R$, ${}h\neq 0$, und insbesondere wäre

${}h{\mathfrak {m}}=0\,.$

Dann wäre auch ${}h{\mathfrak {m}}F_{n-1}=0$ und somit ${}hF_{n}=0$, was aber bei einem freien Modul nicht sein kann. Dies bedeutet nach Fakt, dass ${}{\mathfrak {m}}$ einen Nichtnullteiler enthalten muss. Daher ist die Dimension von ${}R$ zumindest ${}1$. Daher ist die Inklusion

${}{\mathfrak {m}}^{2}\subset {\mathfrak {m}}\,$

echt und nach Fakt gibt es ein ${}f\in {\mathfrak {m}}$ mit ${}f\notin {\mathfrak {m}}^{2}\cup \bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} {\left(R\right)}}{\mathfrak {p}}$. Insbesondere ist ${}f$ ein Nichtnullteiler. Ähnlich wie im Beweis von (1) nach (2) ist dann auch der Komplex (der Kern der nullten Abbildung ist hier das maximale Ideal)

$0\longrightarrow F_{n}/fF_{n}\longrightarrow \cdots \longrightarrow F_{2}/fF_{2}\longrightarrow F_{1}/fF_{1}\longrightarrow {\mathfrak {m}}/f{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0$

exakt. Da ${}{\mathfrak {m}}/f{\mathfrak {m}}$ nicht der Restklassenkörper von ${}F/(f)$ ist, können wir nicht unmittelbar die Induktionsvoraussetzung anwenden. Unter dem ${}R$-Modulhomomorphismus

$R\longrightarrow {\mathfrak {m}}/f{\mathfrak {m}},\,1\longmapsto [f],$

wird genau ${}{\mathfrak {m}}$ auf ${}0$ abgebildet, wir haben also eine injektive Abbildung

$R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow {\mathfrak {m}}/f{\mathfrak {m}}.$

Wegen ${}f\in {\mathfrak {m}}\setminus {\mathfrak {m}}^{2}$ können wir ${}f$ zu einem minimalen Erzeugendensystem ${}f,g_{2},\ldots ,g_{s}$ von ${}{\mathfrak {m}}$ ergänzen. Wir behaupten, dass es einen wohldefinierten Modulhomomorphismus

${\mathfrak {m}}/f{\mathfrak {m}}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}$

gibt, der linksinvers zur obigen Einbettung ist. Dabei wird ein Element

${}h=af_{1}+b_{2}g_{2}+\cdots +a_{s}g_{s}\,$

auf ${}a$ abgebildet. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei

${}h=a'f+b'_{2}g_{2}+\cdots +b'_{s}g_{s}\,$

eine weitere Darstellung. Dann ist

${}0=(a-a')f+(b_{2}-b_{2}')g_{2}+\cdots +(b_{s}-b'_{s})g_{s}\,$

in ${}{\mathfrak {m}}/f{\mathfrak {m}}$ und das bedeutet

${}(a-a')f+(b_{2}-b_{2}')g_{2}+\cdots +(b_{s}-b'_{s})g_{s}=fc\,$

mit ${}c\in {\mathfrak {m}}$. Wäre ${}a-a'\notin {\mathfrak {m}}$, so wäre dies eine Einheit und damit auch ${}a-a'-c$. Doch dann könnte man ${}f$ als Linearkombination der ${}g_{2},\ldots ,g_{s}$ ausdrücken im Widerspruch zur Minimalität. Es gibt also eine direkte Zerlegung

${}{\mathfrak {m}}/f{\mathfrak {m}}=R/{\mathfrak {m}}\oplus N\,$

mit einem weiteren ${}R$- (oder ${}R/(f)$-)Modul ${}N$. Nach Fakt besitzen in einer solchen Situation auch die Summanden eine endliche projektive Dimension, die nicht größer als die projektive Dimension der Summe ist. Somit besitzt also der Restklassenkörper eine endliche projektive Dimension über ${}R/(f)$. Nach Induktionsvoraussetzung ist somit ${}R/(f)$ regulär, und seine Dimension ist nach dem Hauptidealsatz um ${}1$ kleiner als die von ${}R$. Dies gilt auch für die Einbettungsdimension. Somit ist ${}R$ regulär.

$\Box$

Der folgende Satz heißt Satz von Auslander-Buchsbaum-Serre.

Satz

Für einen lokalen regulären Ring ${}R$

ist jede Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ebenfalls regulär.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$. Der Restklassenmodul ${}R/{\mathfrak {p}}$ ist endlich erzeugt, deshalb gibt es nach Fakt  (2) eine endliche freie Auflösung

$0\longrightarrow F_{n}\longrightarrow \ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\longrightarrow 0.$

Wir tensorieren diese Sequenz mit der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$. Da die Tensorierung mit einer Nenneraufnahme nach Fakt exakt ist, erhalten wir eine endliche freie Auflösung (über ${}R_{\mathfrak {p}}$)

$0\longrightarrow F_{n}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow \ldots \longrightarrow F_{2}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow F_{1}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow F_{0}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow 0.$

Wegen

${}R/{\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\cong R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\kappa ({\mathfrak {p}})\,$

(nach Fakt  (2)) ist dies eine freie Auflösung des Restklassenkörpers von ${}R_{\mathfrak {p}}$. Nach Fakt  (3) ist somit ${}R_{\mathfrak {p}}$ regulär.

$\Box$

Die vorstehende Aussage ist ein typisches Beispiel dafür, wie durch die Entwicklung einer neuen Theorie ein zuvor schwieriges Problem „plötzlich“ einfach wird. Ohne die homologische Charakterisierung von regulären Ringen ist der Nachweis dieser Lokalisierungseigenschaft schwierig.

Bemerkung  

In einem lokalen regulären Ring gibt es für den Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}=K$ eine explizite endliche Auflösung, die sogenannte Koszul-Auflösung. Für ein minimales Erzeugendensystem

${}{\mathfrak {m}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,$

hat sie die Form

$0\longrightarrow R\longrightarrow R^{\binom {n}{n-1}}\longrightarrow \ldots \longrightarrow R^{\binom {n}{3}}\longrightarrow R^{\binom {n}{2}}\longrightarrow R^{n}{\stackrel {f_{1},\ldots ,f_{n}}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0,$

wobei sich die Abbildungen links durch gewisse alternierende Produkte der Linearform ${}R^{n}\rightarrow R$ ergeben.

Bemerkung  

Zum Polynomring ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$ und einem endlich erzeugten graduierten Modul ${}M$ gibt es eine endliche graduierte freie Auflösung, d.h. die freien auflösenden Moduln sind von der Form (im Sinne von Definition)

${}F=\bigoplus _{i\in I}R(-d_{i})\,$

und die Modulhomomorphismen sind homogen.

Bemerkung  

Die Lokalisierung an einem Primideal kann regulär sein, ohne dass der Ausgangsring regulär ist. In der Tat ist das ein sehr häufiges und typisches Verhalten. Wenn beispielsweise ${}R$ ein Integritätsbereich ist, so ist die Lokalisierung am Primideal

${}{\mathfrak {p}}=(0)\,$

der Quotientenkörper von ${}R$, und als Körper stets regulär. In einer Primidealkette

${}(0)\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset {\mathfrak {p}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {m}}\,$

gibt es somit ein größtes Primideal, das regulär ist (dieses kann gleich ${}{\mathfrak {m}}$ sein). Wenn nämlich ${}R_{{\mathfrak {p}}_{i}}$ regulär ist, so ist ${}R_{{\mathfrak {p}}_{j}}$ für ${}j\leq i$ eine Lokalisierung von ${}R_{{\mathfrak {p}}_{i}}$ und somit nach Fakt selbst regulär.