Es seien
und
-endliche
Maßräume
mit dem Produktraum . Es sei
-
eine
messbare Funktion,
die in diesem Zusammenhang ein Integralkern oder kurz Kern heißt.
Mit Hilfe eines solchen Integralkernes kann man unter gewissen Integrationsbedingungen messbare Funktionen auf in messbare -wertige Funktionen auf transformieren, indem man die transformierte Funktion
durch
-
definiert. In dieses sehr allgemeine Konzept kann man die Fouriertransformation, die Laplacetransformation und Integralgleichungen einordnen.
Wenn man die unterschiedlichen Rollen betonen möchte, so arbeitet man beispielsweise mit einer Zeitvariablen und einer Frequenzvariablen , aber eine allgemein stimmige Bezeichnungsphilosophie scheint nahezu unmöglich. Wir erwähnen einige typische Integralztransformationen.
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Integralkern |
Integrationsgebiet |
Typischer Ausdruck
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Fourier
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Laplace
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Mellin
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Die Mellin-Transformation kommt beispielsweise bei der Definition der -Funktion vor, es ist
-
Hier ist also
.
Zu einer
integrierbaren Funktion
nennt man die Funktion
-
die durch
-
definiert ist, die
Fourier-Transformation
von .
Hier ist also der Integralkern. Für den Vorfaktor gelten unterschiedliche Konventionen, der gewählte passt am besten zur Rücktransformation.
Es sei ein
endlicher
Maßraum
mit dem Produktraum und sei
-
ein
beschränkter
messbarer Integralkern.
Dann ist die zugehörige Transformation
-
mit
-
eine
stetiger
linearer Operator.
Es sei
eine Schranke. Die Funktion ist dann insbesondere auf dem endlichen Maßraum integrierbar, sodass das Integral existiert. Dabei gilt
nach
Fakt.
Zitat.
Es sei ein
kompakter
metrischer Raum
mit einem
endlichen
Maß
auf . Es sei
-
ein
stetiger
Integralkern.
Dann ist die zugehörige Transformation
-
mit
-
ein
kompakter Operator.
Ein stetiger linearer Operator liegt nach
Fakt
vor.