Metrische Räume/Stetige Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}(L,d_{1})$ und ${}(M,d_{2})$ metrische Räume,

$f\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung und ${}x\in L$. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig in ${}x$, wenn für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart existiert, dass

${}f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$

gilt. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig, wenn sie stetig in ${}x$ für jedes ${}x\in L$ ist.

Statt mit den abgeschlossenen Ballumgebungen könnte man hier genauso gut mit den offenen Ballumgebungen arbeiten. Die einfachsten Beispiele für stetige Abbildungen sind konstante Abbildungen, die Identität eines metrischen Raumes und die Inklusion ${}T\subseteq M$ einer mit der induzierten Metrik versehenen Teilmenge eines metrischen Raumes. Siehe dazu die Aufgaben. Bei ${}L=M=\mathbb {R}$ stimmt diese Definition mit der bisherigen überein.

Der folgende Satz heißt Folgenkriterium und ist eine direkte Verallgemeinerung von Fakt.

Lemma

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ und sei ${}x\in L$ ein Punkt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
2. Für jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass aus ${}d(x,x')\leq \delta$ folgt, dass

   ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon \,$

   ist.

3. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}L$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar.
Es sei nun (2) erfüllt und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}L$, die gegen ${}x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ${}\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)$ ist. Dazu sei ${}\epsilon >0$ gegeben. Wegen (2) gibt es ein ${}\delta$ mit der angegebenen Eigenschaft und wegen der Konvergenz von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ gibt es eine natürliche Zahl ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}d(x_{n},x)\leq \delta \,$

gilt. Nach der Wahl von ${}\delta$ ist dann

$d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},$

sodass die Bildfolge gegen ${}f(x)$ konvergiert.

Es sei (3) erfüllt und ${}\epsilon >0$ vorgegeben.  Wir nehmen an, dass es für alle ${}\delta >0$ Elemente ${}z\in L$ gibt, deren Abstand zu ${}x$ maximal gleich ${}\delta$ ist, deren Wert ${}f(z)$ unter der Abbildung aber zu ${}f(x)$ einen Abstand größer als ${}\epsilon$ besitzt. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche ${}\delta =1/n$, ${}n\in \mathbb {N}$. D.h. für jede natürliche Zahl ${}n$ gibt es ein ${}x_{n}\in L$ mit

$d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .$

Diese so konstruierte Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen ${}x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen ${}f(x)$, da der Abstand der Bildfolgenwerte zu ${}f(x)$ zumindest ${}\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (3).

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Satz

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist stetig in jedem Punkt ${}x\in L$.
2. Für jeden Punkt ${}x\in L$ und jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass aus ${}d(x,x')\leq \delta$ folgt, dass ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon$ ist.
3. Für jeden Punkt ${}x\in L$ und jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}L$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.
4. Für jede offene Menge ${}V\subseteq M$ ist auch das Urbild ${}f^{-1}(V)={\left\{x\in L\mid f(x)\in V\right\}}$ offen.

Beweis

Die Äquivalenz der ersten drei Formulierungen folgt direkt aus Fakt.
Es sei (1) erfüllt und eine offene Menge ${}V\subseteq M$ gegeben mit dem Urbild ${}U:=f^{-1}(V)$. Sei ${}x\in U$ ein Punkt mit dem Bildpunkt ${}y=f(x)\in V$. Da ${}V$ offen ist, gibt es nach Definition ein ${}\epsilon >0$ mit ${}U{\left(y,\epsilon \right)}\subseteq V$. Nach (2) gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}f(U(x,\delta ))\subseteq U{\left(y,\epsilon \right)}$. Daher ist

${}x\in U{\left(x,\delta \right)}\subseteq U\,$

und wir haben eine offene Ballumgebung von ${}x$ innerhalb des Urbilds gefunden. Deshalb ist ${}U$ offen.
Es sei (4) erfüllt und ${}x\in L$ mit ${}y=f(x)$ und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Da der offene Ball ${}U{\left(y,\epsilon \right)}$ offen ist, ist wegen (4) auch das Urbild ${}f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})$ offen. Da ${}x$ zu dieser Menge gehört, gibt es ein ${}\delta >0$ mit

${}U{\left(x,\delta \right)}\subseteq f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})\,,$

sodass (1) erfüllt ist.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}L,M,N$ metrische Räume und seien

$f:L\longrightarrow M\,\,{\text{ und }}\,\,g:M\longrightarrow N$

stetige Abbildungen.

Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)),$

stetig.

Beweis

Dies folgt am einfachsten aus der Charakterisierung von stetig mit offenen Mengen, siehe Fakt.

$\Box$