Raumisometrien/Drehachse/Komplement/Textabschnitt
Das charakteristische Polynom zu ist ein normiertes Polynom vom Grad drei. Für geht und für geht . Nach dem Zwischenwertsatz besitzt daher mindestens eine Nullstelle. Eine solche Nullstelle ist ein Eigenwert von . Nach Fakt ist der Eigenwert gleich oder gleich .
Eine eigentliche lineare Isometrie des Raumes führt insbesondere die Einheitskugel durch eine Bewegung in sich über. Man kann sich eine solche Isometrie also gut als eine Drehung an einer Kugel vorstellen, die in einer passenden Schale liegt.
besitzt einen Eigenvektor zum Eigenwert ,
d.h. es gibt eine Gerade (durch den Nullpunkt), die unter fest bleibt.
Wir betrachten das charakteristische Polynom von , also
Dies ist ein normiertes reelles Polynom vom Grad drei. Für ergibt sich
Da für das Polynom geht, muss es für ein positives eine Nullstelle geben. Aufgrund von Fakt kommt dafür nur in Frage.
Es sei
eine lineare Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum und sei ein invarianter Unterraum.
Dann ist auch das orthogonale Komplement invariant.
Insbesondere kann man als direkte Summe
schreiben, wobei die Einschränkungen und ebenfalls Isometrien sind.
Es ist
Für ein solches und ein beliebiges ist
da liegt wegen der Invarianz von . Also ist wieder .
Es sei
eine eigentliche Isometrie.
Dann ist eine Drehung um eine feste Achse.
Das bedeutet, dass in einer geeigneten Orthonormalbasis durch eine Matrix der Form
beschrieben wird.
Nach Fakt gibt es einen Eigenvektor zum Eigenwert . Sei die davon erzeugte Gerade. Diese ist fix und insbesondere invariant unter . Nach Fakt ist dann auch das orthogonale Komplement invariant unter , d.h. es gibt eine lineare Isometrie
die auf mit übereinstimmt. Dabei muss eigentlich sein, und daher muss nach Fakt eine Drehung sein. Wählt man einen Vektor der Länge eins aus und dazu eine Orthonormalbasis von , so hat bezüglich dieser Basis die angegebene Gestalt.