Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Textabschnitt

Im Beweis der Serre-Dualität orientieren wir uns stark an Forster und Möller.

Lemma

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$.

Dann ist die natürliche Abbildung

$\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H^{1}(X,{\mathcal {L}}),H^{1}(X,\Omega _{X})\right)},\,\theta \longmapsto H^{1}(\theta ),$

injektiv.

Beweis

Hier stehen links Modulgarbenhomomorphismen und rechts ${}{\mathbb {C} }$-lineare Abbildungen, die Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus. Es sei ${}\theta \in \operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}$ nicht die Nullabbildung. Dann ist ${}\theta \colon {\mathcal {L}}\rightarrow \Omega _{X}$ injektiv, da beide Garben invertierbar sind. Es liegt somit eine kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {L}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}/{\mathcal {L}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor, wobei die Quotientengarbe ${}\Omega _{X}/{\mathcal {L}}$ nach Fakt einen diskreten Träger besitzt und ihre erste Kohomologie verschwindet. Es liegt somit die lange exakte Kohomologiesequenz

$0\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {L}}){\stackrel {H^{0}(\theta )}{\longrightarrow }}H^{0}(X,\Omega _{X})\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X}/{\mathcal {L}}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {L}}){\stackrel {H^{1}(\theta )}{\longrightarrow }}H^{1}(X,\Omega _{X})\longrightarrow 0$

vor. Daher ist ${}H^{1}(\theta )$ surjektiv und wegen ${}H^{1}(X,\Omega _{X})\neq 0$ ist es nicht die Nullabbildung.

$\Box$

Wir wissen noch nicht, dass das Residuum eine Bijektion

${}H^{1}(X,\Omega _{X})\cong {\mathbb {C} }\,$

definiert, nur, dass die Abbildung nichttrivial, also surjektiv ist. Wir werden von nun an die Dualität über das Residuum betrachten. Wir schreiben ${}{H^{1}(X,{\mathcal {L}})}^{*}$ für den Dualraum von ${}H^{1}(X,{\mathcal {L}})$. Die vorstehende Aussage gilt auch in dieser Situation.

Korollar

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$.

Dann ist die natürliche Abbildung

$\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H^{1}(X,{\mathcal {L}}),{\mathbb {C} }\right)},\,\theta \longmapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(\theta )\right),$

injektiv.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und seien ${}{\mathcal {L}}$ und ${}{\mathcal {M}}$ invertierbare Garben auf ${}X$. Es sei ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein nichttrivialer Schnitt.

Dann ist die natürliche Abbildung

${\left(H^{1}(X,{\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {L}})\right)}^{*}\longrightarrow {\left(H^{1}(X,{\mathcal {M}})\right)}^{*}$

injektiv.

Beweis

Der Schnitt führt zu einem injektiven Garbenhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow {\mathcal {L}}$ und durch Tensorierung zu einem injektiven Homomorphismus ${}{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {L}}$. Nach Fakt ist

$H^{1}(X,{\mathcal {M}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {L}})$

surjektiv und daher ist die duale Abbildung injektiv.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und seien ${}D'\leq D$ Divisoren auf ${}X$. Es sei ${}K$ ein kanonischer Divisor von ${}X$.

Dann liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))}^{*}&\\\downarrow &&\downarrow &\\H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))}^{*}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, wobei alle Abbildungen injektiv sind. Dabei gilt

${}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))=H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))\cap {H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))}^{*}\,.$

Beweis

Links steht die zu

${}K-D\leq K-D'\,$

gehörende Einbettung der zugehörigen invertierbaren Garben, siehe Fakt. Rechts steht die injektive duale Abbildung zur surjektiven Abbildung

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),$

die wiederum zur Einbettung

${}{\mathcal {O}}_{X}(D')\subseteq {\mathcal {O}}_{X}(D)\,$

gehört. Es ist

${}{\mathcal {O}}_{X}(K-D)\cong \Omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-D)\,.$

Ein globaler Schnitt in dieser Garbe ist das gleiche wie ein Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-D)$

was wiederum das gleiche wie ein Homomorphismus

${\mathcal {O}}_{X}(D)\longrightarrow \Omega _{X}$

ist. Daher folgt die Injektivität der horizontalen Abbildungen aus Fakt.

Es sei nun eine Linearform ${}\lambda '\in {H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))}^{*}$ gegeben, das einerseits von ${}\lambda \in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))$ und andererseits von ${}u'\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))=\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D'),\Omega _{X}\right)}$ herrührt. Wir müssen ${}u'\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))$ zeigen. Nehmen wir an, dass das nicht gilt. Dann gibt es einen Punkt ${}P\in X$ derart, dass die Ordnung von ${}u'$ in ${}P$ echt kleiner als die Ordnung von ${}K-D$ in ${}P$ ist. Um einen Widerspruch zu erreichen, konstruieren wir eine Kohomologieklasse ${}c'\in H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))$, die unter ${}\lambda$, also unter

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)){\stackrel {\lambda }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} },$

und unter ${}H^{1}(u')$ einen unterschiedlichen Wert hat.

Es sei ${}P\in U$ eine Kreisscheibenumgebung derart, dass auf ${}U\setminus \{P\}$ die Divisoren ${}D,D',K,\operatorname {div} {\left(u'\right)}$ trivial sind.

$\Box$

Der folgende Satz beschreibt die sogenannte Serre-Dualität.

Satz

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$.

Dann definiert die natürliche Abbildung

$\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}\times H^{1}(X,{\mathcal {L}})\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(\theta ,c)\longmapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(\theta )(c)\right),$

eine vollständige Dualität.

Beweis

Es sei ${}{\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(D)$ mit einem Divisor ${}D$. Es sei ${}g$ das Geschlecht von ${}X$ und es sei ${}K$ ein kanonischer Divisor. Wegen Fakt genügt es zu zeigen, dass

$\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D),\Omega _{X}\right)}\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),{\mathbb {C} }\right)}\cong {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))\right)}^{*},\,\theta \longmapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(\theta )\right),$

auch surjektiv ist. Es sei dazu

$\lambda \colon H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine Linearform ${}\neq 0$. Es sei ${}P\in X$ ein Punkt, wir betrachten die Divisoren ${}D_{n}=D-nP$. Es sei zunächst ${}n$ fixiert. Ein globaler Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ definiert durch Tensorierung (siehe Fakt) mit ${}{\mathcal {O}}_{X}(D_{n})$ einen Homomorphismus

${\mathcal {O}}_{X}(D_{n})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D_{n})\otimes {\mathcal {O}}_{X}(nP)\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)$

und damit via

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n})){\stackrel {H^{1}(s)}{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)){\stackrel {\lambda }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }$

eine Linearform auf ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))$, die wir mit ${}s\lambda$ bezeichnen. Es sei

${}\Lambda _{n}={\left\{s\lambda \mid s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}\right\}}\subseteq {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}\,.$

Für ${}s\neq 0$ ist nach Fakt auch ${}s\lambda \neq 0$ und daher ist die Gesamtzuordnung

$\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}\longrightarrow {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}$

injektiv. Insbesondere haben ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ und ${}\Lambda _{n}$ die gleiche Dimension. Daher haben wir nach Fakt die Dimensionsabschätzung

${}\dim _{\mathbb {C} }{\left(\Lambda _{n}\right)}\geq n+1-g\,.$

Neben ${}\Lambda _{n}$ betrachten wir einen weiteren Untervektorraum von ${}{\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}$, nämlich das natürliche Bild

$B_{n}=\operatorname {bild} {\left(H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))\longrightarrow {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}\right)}\,.$

Dessen Dimension stimmt nach Fakt mit der Dimension von ${}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))$ überein und kann nach Fakt (mit ${}{\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}(K-D)$ und ${}{\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(nP)$) durch

${}\dim _{K}{\left(H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))\right)}\geq n+c\,$

für ein von ${}D$ und ${}K$ abhängiges ${}c$ abgeschätzt werden. Ferner ist für

${}n>\operatorname {Grad} \,(D)\,$

der Grad von ${}D_{n}$ negativ und somit besitzt für diese ${}D_{n}$ keine globalen Schnitte nach Fakt. Nach Fakt ist daher

${}h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))=g-1-\operatorname {Grad} \,(D_{n})=n+g-1-\operatorname {Grad} \,(D)\,.$

Die Zahl ${}n$ geht also in alle drei relevanten Dimensionen einfach linear ein. Für ${}n$ hinreichend groß übertrifft also die Summe der Dimensionen von ${}\Lambda _{n}$ und von ${}B_{n}$ die Dimension des umgebenden Raumes. Es sei nun ein solches ${}n$ gewählt. Nach Fakt ist dann

${}\Lambda _{n}\cap B_{n}\neq \emptyset \,.$

Ein nichttriviales Element darin hat einerseits eine Darstellung als ${}s\lambda$ mit ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ und andererseits als Bild von einem Element ${}\omega$ aus ${}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))$. Es gilt also

${}s\lambda =\omega \,.$

Wegen ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ ist ${}\operatorname {div} {\left(s\right)}\geq -nP$. Somit ist ${}-nP-\operatorname {div} {\left(s\right)}\leq 0$ und daher ist

${}D':=D_{n}-\operatorname {div} {\left(s\right)}=D-nP-\operatorname {div} {\left(s\right)}\leq D\,.$

Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))}^{*}&\\\downarrow &&\downarrow &\\H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))}^{*}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei alle Abbildungen injektiv sind. Wir fassen das ${}\lambda$ von rechts oben rechts unten auf. Wegen

${}\omega \in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))$ ist ${}{\frac {\omega }{s}}\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}+\operatorname {div} {\left(s\right)}))=H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))$. Dabei gilt rechts unten die Gleichheit ${}{\frac {\omega }{s}}=\lambda$. Nach Fakt rührt damit ${}\lambda$ von oben links her.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann ist ${}H^{1}(X,\Omega _{X})$ eindimensional und die Residuenabbildung ist bijektiv.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, wenn man dort ${}{\mathcal {L}}=\Omega _{X}$ setzt.

$\Box$

Mit diesem Wissen kann man die Serre-Dualität allein mit ${}H^{1}(X,\Omega _{X})$ und auch ohne die Residuenabbildung formulieren.

Korollar

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann sind die Vektorräume ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ und ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ in natürlicher Weise dual zueinander.

Beweis

Dies folgt aus Fakt mit ${}{\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}$ unter Verwendung von

${}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X},\Omega _{X}\right)}=H^{0}(X,\Omega _{X})\,.$

$\Box$

Bemerkung  

Die bijektive Zuordnung

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow {H^{0}(X,\Omega )}^{*},\,c\longmapsto {\left(\omega \mapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(\omega )(c)\right)\right)},$

aus Fakt ist so zu verstehen. Eine globale Differentialform ${}\omega \in H^{0}(X,\Omega )$ definiert einen (ebenfalls mit ${}\omega$ bezeichneten) Garbenhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X},\,1\longmapsto \omega ,$

und dazu die erste Kohomologieabbildung

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,\Omega _{X}),\,c\longmapsto H^{1}(\omega )(c).$

Die Auswertung mit dem Residuum ergibt dann den Wert in ${}{\mathbb {C} }$. Der rechnerische Aufwand hängt wesentlich davon ab, in welcher Form die Kohomologieklasse vorliegt. Wenn ${}c$ Čech-kohomologisch als ${}U_{i},h_{ij}$ vorliegt, so erhält man bei gegebenem ${}\omega$ eine entsprechende Darstellung ${}U_{i},h_{ij}\omega$. Wenn ${}c$ als Klasse zu einer Hauptteilverteilung ${}(\tau _{P})_{P}$ vorliegt, so gehört dazu direkt die Hauptteilverteilung von holomorphen Differentialformen ${}(\tau _{P}\omega )_{P}$ und dazu wiederum die Residuenauswertung im Sinne der Definition.

Korollar

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann stimmt das kohomologische Geschlecht von ${}X$ mit dem differentiellen Geschlecht von ${}X$ überein.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

$\Box$