Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$, es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ und es seien

${}s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}\,.$

Es sei ${}U\subseteq X$ die Vereinigung der offenen Mengen ${}X_{s_{i}}$.

Dann ist durch

$U\longrightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{n},\,x\longmapsto \left(s_{0}(x),\,s_{1}(x),\,\ldots ,\,s_{n}(x)\right),$

ein Morphismus gegeben.

Beweis

Wir betrachten zunächst die Situation auf ${}X_{i}=X_{s_{i}}$. Es ist

${\mathcal {O}}_{X}{|}_{U}\longrightarrow {\mathcal {L}}{|}_{U},\,1\longmapsto s_{i},$

nach Fakt ein Isomorphismus von ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Moduln. Dabei entsprechen unter diesem Isomorphismus die ${}s_{k}$ den Funktionen

${}f_{ki}\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,.$

Dabei gilt

${}f_{ki}={\frac {s_{k}}{s_{i}}}\,,$

und dieser Quotient ist wohldefiniert. Diese Funktionen ${}f_{ki}$, ${}k\neq i$, definieren wiederum nach Fakt einen Morphismus

$\varphi _{i}\colon X_{i}\longrightarrow D_{+}(x_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{R}^{n}}\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{n}.$

Insgesamt liegt das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}X_{i}&&&{\stackrel {\varphi _{i}}{\longrightarrow }}&&&D_{+}(x_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{R}^{n}}&&\\&\nwarrow \,\!\!\!\!\!&&&&\nearrow \!\!\!\!\!&&\,\searrow \!\!\!\!\!&\\&&X_{i}\cap X_{j}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&D_{+}(x_{i})\cap D_{+}(x_{j})&&&&{\mathbb {P} }_{K}^{n}\\&\swarrow \,\!\!\!\!\!&&&&\,\searrow \!\!\!\!\!&&\,\nearrow \!\!\!\!\!&\\X_{j}&&&{\stackrel {\varphi _{j}}{\longrightarrow }}&&&D_{+}(x_{j})\cong {{\mathbb {A} }_{R}^{n}}&&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$

vor, da links so verklebt wird wie im projektiven Raum rechts. Somit setzen sich diese Morphismen zu einem Morphismus auf der Vereinigung der ${}X_{i}$ zusammen.

$\Box$

Definition

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$, es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ und es seien ${}s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ globale Schnitte auf ${}X$. Dann nennt man den nach Fakt auf ${}U=\bigcup _{i=0}^{n}X_{s_{i}}$ definierten Morphismus

$U\longrightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{n},\,x\longmapsto \left(s_{0}(x),\,s_{1}(x),\,\ldots ,\,s_{n}(x)\right),$

den durch die Schnitte ${}s_{0},\ldots ,s_{n}$ gegebenen oder den durch das lineare System ${}s_{0},\ldots ,s_{n}$ gegebenen Morphismus. Er wird mit ${}\varphi _{s_{0},\ldots ,s_{n}}$ oder mit ${}\varphi _{{\mathcal {L}};s_{0},\ldots ,s_{n}}$ bezeichnet.

Definition

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$ und es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$. Man nennt einen ${}R$-Untermodul ${}T\subseteq \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein lineares System auf ${}X$.

Wegen Aufgabe hängt der durch eine Familie von Schnitten gegebene Morphismus in erster Linie von dem davon erzeugten Untermodul ab (insbesondere, wenn die Schnitte linear unabhängig sind, was man oft ohnehin fordert). Bei ${}T=\Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ spricht man von einem vollen linearen System. Ein lineares System hat eine geometrische Bedeutung. Jeder Schnitt ${}s\in T$ definiert den Invertierbarkeitsort ${}X_{s}$ und das Nullstellengebilde ${}Z(s):=X\setminus X_{s}$. Bei ${}s\neq 0$ ist ${}Z(s)$ eine abgeschlossene Teilmenge von ${}X$ der Kodimension ${}1$, eine Hyperfläche von ${}X$ (man denke an integres ${}X$). Die Familie ${}Z(s)$, ${}s\in T$, ${}s\neq 0$, ist somit eine Familie von Hyperflächen, die dem linearen System zugeordnet ist (oft nennt man dieses System das lineare System). Wenn ${}X$ normal ist, so kann man die ${}Z(s)$ als eine Familie von zueinander linear äquialenten Divisoren auffassen.

Beispiel

Auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{R}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(R[X,Y]\right)}$ über einem kommutativen Ring ${}R$ und das (volle) lineare System ${}(X,Y)\subseteq \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1}}(1)\right)}$ ist der zugehörige Morphismus die Identität.

Beispiel

Auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{R}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(R[X,Y]\right)}$ über einem kommutativen Ring ${}R$ und das (volle) lineare System ${}(X^{2},XY,Y^{2})\subseteq \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1}}(2)\right)}$ ist der zugehörige Morphismus ausgeschrieben gleich

${\mathbb {P} }_{R}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2},xy,y^{2}).$

Dem Punkt auf der projektiven Geraden mit den homogenen Koordinaten ${}(x,y)$ wird also der Punkt in der projektiven Ebene mit den homogenen Koordinaten ${}(x^{2},xy,y^{2})=(u,v,w)$ zugeordnet. Das Bild erfüllt die Gleichung ${}uw=v^{2}$, d.h. das Bild liegt in der ebenen Kurve

${}V_{+}(uw-v^{2})\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{2}\,.$

In der Tat liegt eine Isomorphie ${}{\mathbb {P} }_{R}^{1}\cong V_{+}(uw-v^{2})$ vor.

Definition

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$ und es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$. Ein lineares System ${}T\subseteq \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ heißt basispunktfrei, wenn es zu jedem Punkt ${}x\in X$ ein ${}s\in T$ mit ${}x\in X_{s}$ gibt.

Dies wird hauptsächlich für Schemata über einem Körper verwendet. Man sagt dann auch, dass die Schnitte ${}s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}$ basispunktfrei sind, wenn das von ihnen erzeugte lineare System basispunktfrei ist.

Lemma

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$, es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ und es seien ${}s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ globale Schnitte auf ${}X$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Es ist ${}X=\bigcup _{i=0}^{n}X_{s_{i}}$.
2. Der durch das lineare System ${}(s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n})$ definierte Morphismus nach ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}$ ist auf ganz ${}X$ definiert.
3. Das lineare System ${}(s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n})$ ist basispunktfrei.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Satz

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$.

Dann entsprechen sich die folgenden Konzepte.

1. Eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}X$ zusammen mit basispunktfreien Schnitten

   ${}s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}\,.$

2. Ein Morphismus

   $\varphi \colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{n}$

   über ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.

Dabei wird den Schnitten der zugehörige Morphismus ${}\varphi _{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}}$ und dem Morphismus ${}\varphi$ die invertierbare Garbe ${}\varphi ^{*}({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1))$ zusammen mit den Schnitten ${}\varphi ^{*}(x_{i})$, ${}i=0,1,\ldots ,n$, zugeordnet.

Beweis

Es sei zuerst die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ mit den Schnitten ${}s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}$ gegeben. Es ist zu zeigen, dass

${}\varphi ^{*}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1)\cong {\mathcal {L}}\,$

ist. Auf dem projektiven Raum gibt es ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}$-Modulhomomorphismen

$\Psi _{i}\colon {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1),\,1\longmapsto x_{i},$

die eingeschränkt auf ${}D_{+}(x_{i})$ Isomorphismen sind. Dies induziert ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismen

${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \varphi ^{*}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1),\,1\longmapsto \varphi ^{*}(x_{i}),$

und Isomorphismen

${\mathcal {O}}_{X}{|}_{X_{s_{i}}}\longrightarrow \varphi ^{*}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1){|}_{X_{s_{i}}},$

die in Verbindung mit den ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Isomorphismen

${\mathcal {O}}_{X}{|}_{X_{s_{i}}}\longrightarrow {\mathcal {L}}{|}_{X_{s_{i}}},\,1\longmapsto s_{i},$

zu ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Isomorphismen

$\varphi ^{*}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1){|}_{X_{s_{i}}}\longrightarrow {\mathcal {L}}{|}_{X_{s_{i}}}$

führen, bei denen sich ${}\varphi ^{*}(x_{i})$ und ${}s_{i}$ entsprechen. Die Einschränkungen dieser Isomorphismen auf ${}X_{s_{i}s_{j}}$ stimmen überein, daher gibt es nach Fakt einen globalen Isomorphismus

$\varphi ^{*}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1)\longrightarrow {\mathcal {L}}.$

Wenn umgekehrt ein Morphismus ${}\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ gegeben ist, so definiert dies Schnitte ${}s_{i}=\varphi ^{*}(x_{i})$, ${}i=0,1,\ldots ,n$, und dies wiederum den dadurch festgelegten Morphismus ${}\varphi '$. Es ist zu zeigen, dass diese beiden Morphismen übereinstimmen. Ein Morphismus ist lokal festgelegt. Unter der Einschränkung

$\varphi ^{-1}(D_{+}(x_{i}))\longrightarrow D_{+}(x_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

werden aber die zugehörigen Variablen ${}{\frac {x_{k}}{x_{i}}}$ auf ${}{\frac {s_{k}}{s_{i}}}$ zurückgezogen, und mit diesen Brüchen wird ${}\varphi '$ definiert.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$, es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ und es seien ${}s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ globale Schnitte auf ${}X$ und ${}\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{n}$ der zugehörige Morphismus.

Dann ist das Urbild der Hyperebene

${}V_{+}(a_{0}X_{0}+a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n})\subset {\mathbb {P} }_{R}^{n}\,$

(mit ${}a_{i}\in R$, nicht alle gleich ${}0$) unter ${}\varphi$ gleich der Nullstellenmenge

${}Z{\left(a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\cdots +a_{n}s_{n}\right)}=X\setminus X_{a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\cdots +a_{n}s_{n}}\,$

des zurückgezogenen Schnittes ${}a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\cdots +a_{n}s_{n}$.

Beweis

Dies folgt aus Fakt.

$\Box$

Zur getwisteten Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1)$ gehört über die Familie aller globalen Schnitte ${}\neq 0$ die Familie aller Hyperebenen im projektiven Raum. Ebenso gehört zu einer invertierbaren Garbe auf einem Schema über die Familie ihrer globalen Schnite ${}\neq 0$ die Familie ihrer Nullstellengebilde. Unter der in Fakt beschriebenen Korrespondenz sind die Urbilder der Hyperebenen gleich den Nullstellengebilden. Wenn ${}\varphi$ durch eine abgeschlossene Untervarietät faktorisiert, also ${}X\rightarrow Y\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{n}$ vorliegt, so sind auch die Nullstellengebilde Urbilder von Durchschnitten ${}Y\cap H$ mit einer Hyperebene ${}H$. In Beispiel etwa stimmt die Familie der Nullstellengebilde zum vollen linearen System aus ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1}}(2)$ mit der Familie der Durchschnitte ${}V_{+}(uw-v^{2})\cap H$, ${}H{\text{ Gerade}}$, überein.