Abbildungsfolge/Metrischer Raum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}T$ eine Menge, ${}M$ ein metrischer Raum und

$f_{n}\colon T\longrightarrow M$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes ${}x\in T$ die Folge

${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

konvergiert.

Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch

${}f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)\,$

eine sogenannte Grenzabbildung (oder Grenzfunktion) ${}f\colon T\rightarrow M$ definiert. Selbst wenn sämtliche Funktionen stetig sind, muss diese Grenzabbildung nicht stetig sein. Dazu braucht man einen stärkeren Konvergenzbegriff.

Definition

Es sei ${}T$ eine Menge, ${}M$ ein metrischer Raum und

$f_{n}\colon T\longrightarrow M$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow M$

derart gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ gibt mit

$d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T.$

Beispiel

Es sei ${}T=[0,1]$ und

$f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n}.$

Für jedes ${}x\in [0,1]$, ${}x<1$, konvergiert die Folge ${}{\left(x^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nach Aufgabe gegen ${}0$ und für ${}x=1$ liegt die konstante Folge zum Wert ${}1$ vor. Die Grenzfunktion ist also

${}f(x)={\begin{cases}0,\,{\text{ falls }}x<1\,,\\1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Diese Funktion ist nicht stetig, obwohl alle ${}f_{n}$ stetig sind.

Lemma

Es seien ${}L$ und ${}M$

metrische Räume und es sei

$f_{n}\colon L\longrightarrow M$

eine Folge von stetigen Abbildungen, die gleichmäßig gegen die Abbildung ${}f$ konvergiert.

Dann ist ${}f$ stetig.

Beweis

Es sei ${}x\in L$ und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein ${}n_{0}$ mit ${}d{\left(f_{n}(y),f(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle ${}n\geq n_{0}$ und alle ${}y\in L$. Wegen der Stetigkeit von ${}f_{n_{0}}$ in ${}x$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle ${}y\in L$ mit ${}d{\left(x,y\right)}\leq \delta$. Für diese ${}y$ gilt somit

${}{\begin{aligned}d{\left(f(x),f(y)\right)}&\leq d{\left(f(x),f_{n_{0}}(x)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(y),f(y)\right)}\\&\leq \epsilon /3+\epsilon /3+\epsilon /3\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

$\Box$