Charakteristik 0/Auflösbare Körpererweiterung/Auflösbare Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei zuerst die Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ auflösbar, und zwar sei ${}L\subseteq M$ eine Körpererweiterung derart, dass ${}K\subseteq M$ eine Radikalerweiterung ist. Es sei ${}m$ dabei ein gemeinsamer „Radikalexponent“ der beteiligten einfachen Radikalerweiterungen. Da wir in Charakteristik ${}0$ sind, können wir zu ${}M$ eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel ${}\zeta$ adjungieren und erhalten eine ${}m$-Radikalerweiterung ${}K\subseteq M'=M(\zeta )$. Wir ersetzen ${}M'$ durch seine normale Hülle ${}M^{\prime \prime }$, die nach Fakt ebenfalls eine ${}m$-Radikalerweiterung von ${}K$ ist. Da wir in Charakteristik ${}0$ sind, ist ${}K\subseteq M^{\prime \prime }$ eine Galoiserweiterung. Wir können also davon ausgehen, dass eine Kette

${}K=L_{0}\subseteq K(\zeta )=L_{1}\subseteq L_{2}\subseteq \ldots \subseteq L_{k}=M\,$

vorliegt, wobei ${}K\subseteq M$ galoissch ist und wo die sukzessiven Körpererweiterungen ${}L_{i}\subseteq L_{i+1}$ einfache Radikalerweiterungen sind. Es sei ${}G=\operatorname {Gal} \,(M{|}K)$ und wir setzen

${}G_{i}=\operatorname {Gal} \,(M{|}L_{i})\,.$

Dabei gelten nach Fakt  (2) die natürlichen Inklusionen

${}G_{k}=\{\operatorname {Id} \}\subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k-2}\subseteq \ldots \subseteq G_{1}\subseteq G_{0}=G\,.$

Da die Zwischenerweiterungen ${}L_{i}\subseteq L_{i+1}$ für ${}i\geq 1$ einfache Radikalerweiterungen und in ${}L_{1}$ die benötigten Einheitswurzeln vorhanden sind, folgt aus Fakt, dass es sich um Galoiserweiterungen mit abelscher Galoisgruppe handelt. Aufgrund von Fakt  (2) sind daher die ${}G_{i+1}$ Normalteiler in ${}G_{i}$ und die Restklassengruppen ${}G_{i}/G_{i+1}$ sind kommutativ. Die Erweiterung ${}K\subseteq K(\zeta )=L_{1}$ besitzt nach Aufgabe ebenfalls eine abelsche Galoisgruppe. Daher liegt insgesamt eine Filtrierung vor, die ${}G$ als auflösbar erweist. Da ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung ist, gilt wieder nach Fakt die Beziehung

${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)=G/\operatorname {Gal} \,(M{|}L)\,,$

sodass auch ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ wegen Fakt eine auflösbare Gruppe ist.

Es sei nun vorausgesetzt, dass die Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auflösbar ist, und sei

${}\{\operatorname {Id} \}=G_{k}\subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k-2}\subseteq \ldots \subseteq G_{1}\subseteq G_{0}=G\,$

eine Filtrierung mit Untergruppen derart, dass jeweils ${}G_{i+1}\subseteq G_{i}$ ein Normalteiler ist mit abelscher Restklassengruppe ${}G_{i}/G_{i+1}$. Wir setzen ${}L_{i}=\operatorname {Fix} \,(G_{i})$, sodass nach Fakt  (1) und Fakt die Körperkette

${}K=L_{0}\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{k}=L\,$

vorliegt. Dabei sind nach Fakt die Körpererweiterungen ${}L_{i}\subseteq L$ galoissch, und ihre Galoisgruppen sind ${}G_{i}$ gemäß Fakt. Da die ${}G_{i+1}$ Normalteiler in ${}G_{i}$ sind, sind aufgrund von Fakt die Körpererweiterungen ${}L_{i}\subseteq L_{i+1}$ galoissch mit Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L_{i+1}{|}L_{i})=G_{i}/G_{i+1}$. Diese sukzessiven Erweiterungen sind also Galoiserweiterungen mit abelscher Galoisgruppe. Es sei ${}m$ der Exponent von ${}G$. Es sei ${}L\subseteq M$ ein ${}m$-ter Kreisteilungskörper, also ein Zerfällungskörper von ${}X^{m}-1$ über ${}L$, und sei ${}\zeta \in M$ eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel. Es ist somit ${}M=L(\zeta )$. Wir setzen ${}M_{i}=L_{i}(\zeta )$ (innerhalb von ${}M$) und haben dann die Körperkette

${}K\subseteq M_{0}=K(\zeta )\subseteq M_{1}\subseteq \ldots \subseteq M_{k}=M\,.$

Hierbei gilt ${}M_{i+1}=M_{i}L_{i+1}$. Nach Fakt ist ${}M_{i}\subseteq M_{i+1}$ ebenfalls galoissch, und es gilt die Untergruppenbeziehung

${}\operatorname {Gal} \,(M_{i+1}{|}M_{i})=\operatorname {Gal} \,(L_{i+1}{|}L_{i+1}\cap M_{i})\subseteq \operatorname {Gal} \,(L_{i+1}{|}L_{i})\,,$

sodass diese Galoisgruppen auch abelsch sind. Da die ${}m$-te primitive Einheitswurzel ${}\zeta$ zu ${}M_{0}$ gehört, sind die Erweiterungen ${}M_{i}\subseteq M_{i+1}$ allesamt Kummererweiterungen und damit nach Fakt auch Radikalerweiterungen. Da auch ${}K\subseteq M_{0}=K(\zeta )$ eine (einfache) Radikalerweiterung ist, ist insgesamt ${}K\subseteq M$ eine Radikalerweiterung, die ${}L$ umfasst. Somit ist ${}K\subseteq L$

auflösbar.

Zur gelösten Aufgabe