Dedekindbereich/Verzweigung/Ordnung/Ableitungsbedingung/Textabschnitt

Lemma

Es seien ${}R,S$ Dedekindbereiche und es sei ${}R\subseteq S=R[X]/(F)$ eine monogene endliche Ringerweiterung. Es

Dann ist ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$ mit perfektem Restekörper in ${}S$ genau dann unverzweigt, wenn ${}F$ und ${}F'$ in ${}\kappa ({\mathfrak {p}})[X]$ teilerfremd sind.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von ${}R$ und

${}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$

die Zerlegung des Erweiterungsideales ${}{\mathfrak {p}}S$ in Ideale, die es nach Fakt gibt. Das bedeutet insbesondere, dass die Ortsuniformisierende ${}p$ zu ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}S_{{\mathfrak {q}}_{j}}$ die Ordnung ${}r_{j}$ besitzt. Es liegt nach Fakt genau dann Verzweigung vor, wenn ${}r_{j}\geq 2$ für mindestens ein ${}j$ gilt. Der Faserring ist unter Verwendung von Fakt gleich

${}\kappa ({\mathfrak {p}})[X]/(F)=S/{\mathfrak {p}}S=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Dieser Ring ist genau dann reduziert, wenn ${}r_{j}=1$ für alle ${}j$ gilt. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}D$ eine quadratfreie Zahl ${}\neq 0,1$ mit

${}D=2,3\mod 4\,$

und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich, der nach Fakt die Restklassenbeschreibung ${}A_{D}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)$ besitzt. Die Ableitung von

${}F=X^{2}-D\,$

ist ${}2X$ und somit ist, um das Verzweigungsverhalten zu verstehen, nach Fakt das Ideal ${}(2X,X^{2}-D)$ zu betrachten. Wenn ${}p\neq 2$ und kein Teiler von ${}D$ ist, so ist dies über ${}\mathbb {Z} /(p)$ das Einheitsideal und es liegt keine Verzweigung vor. Wenn ${}p$ ein Teiler von ${}D$ oder ${}p=2$ ist, so liegt Verzweigung mit Verzweigungsordnung ${}2$ vor.

Bei ${}D=1\mod 4$ ist nach Fakt ${}A_{D}=\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}})$. Die Ableitung ist ${}2Y-1$. Oberhalb von ${}p=2$ findet keine Verzweigung statt. Es sei also ${}p\neq 2$. Modulo ${}p$ ist

${}{\begin{aligned}(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}},2Y-1)&=(4Y^{2}-4Y-D+1,2Y-1)\\&=1-2-D+1\\&=D.\end{aligned}}$

Deshalb liegt Verzweigung genau in den Primteilern von ${}D$ vor.

Korollar

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}P\in K[X]$ ein nichtkonstantes Polynom und

$K[Y]\longrightarrow K[X]\cong K[Y][X]/(Y-P(X)),\,Y\longmapsto P(X),$

der zugehörige Einsetzungshomomorphismus.

Dann ist ein Primideal ${}(X-a)$ genau dann verzweigt, wenn ${}P'(a)=0$ ist, und über einem Primideal ${}(Y-b)$ liegt genau dann Verzweigung vor, wenn es ein ${}a\in K$ mit ${}P(a)=b$ und ${}P'(a)=0$ gibt.

Beweis

Wir wenden Fakt auf die endliche Erweiterung ${}K[Y]\subseteq K[Y][X]/(Y-P(X))$ an. Da ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist, ist ${}K$ vollkommen und der Restekörper zu jedem maximalen Ideal ist gleich ${}K$. Verzweigung oberhalb von ${}(Y-b)$ ist also die Frage, ob ${}F=Y-P(X)$ und ${}F'=-P'(X)$ im Restekörper teilerfremd sind. Dabei ist ${}Y$ als ${}b$ zu interpretieren, es geht also darum, ob ${}P(X)-b$ und ${}P'(X)$ teilerfremd sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn diese beiden Polynome keine gemeinsame Nullstelle in ${}K$ besitzen.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p>0$. Wir betrachten die Ringerweiterung

${}K(t)[Y]\subseteq K(t)[Y][X]/(X^{p}-t)=K(t)[X]/(X^{p}-t)[Y]\cong K(x)[Y]\,,$

die Erweiterung spielt sich also im Wesentlichen im Grundkörper ab. Es ist

${}(X^{p}-t)'=pX^{p-1}=0\,,$

deshalb sind das beschreibende Polynom und seine Ableitung nirgendwo teilerfremd. Dennoch ist

$K(t)[Y]_{(Y)}\longrightarrow K(x)[Y]_{(Y)}$

unverzweigt, da ${}Y$ in beiden Ringen die Ortsuniformisierende ist. Dies zeigt auch, dass Fakt ohne die Voraussetzung über die Perfektheit nicht gilt.

Satz

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$, es sei ${}K\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung und ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$.

Dann gibt es nur endlich viele Primideale von ${}R$, über denen Verzweigung stattfindet.

Beweis

Es sei

${}L=K[x]=K[X]/(F)\,$

mit einem normierten Polynom ${}F$, was es nach dem Satz vom primitiven Element gibt. Wir betrachten die endlichen Abbildungen

${}R\subseteq R[x]\cong R[X]/(F)\subseteq S\,$

wobei ${}S$ die Normalisierung von ${}R[x]$ ist. Es sei

${}S=R[x][{\frac {g_{1}}{f_{1}}},\ldots ,{\frac {g_{n}}{f_{n}}}]\,$

mit ${}g_{i},f_{i}\in R[x]$ und wobei wir ${}f_{i}\in R$ annehmen dürfen. Sei

${}f=\prod f_{i}\neq 0\,.$

Dann ist

${}R_{f}[x]=R[x]_{f}=S_{f}\,.$

Das heißt, dass oberhalb von ${}R_{f}$ der Ganzheitsring durch ein Element erzeugt wird. Da es oberhalb von ${}(f)$ nur endlich viele Primideale in ${}R$ gibt, genügt es zu zeigen, dass in ${}D(f)$ nur endlich viele Primideale verzweigen. Wir können also

${}S=R[x]\,$

als monogen annehmen. Wir betrachten das von ${}F$ und ${}F'$ erzeugte Ideal in ${}R[X]$. Wegen der Separabilität der generischen Körpererweiterung erzeugen diese Polynome in ${}K[X]$ das Einheitsideal, was in ${}R[X]$ bedeutet, dass es Polynome ${}P,Q$ gibt mit

${}FP+F'Q=g\in R\,$

mit ${}g\neq 0$. Dies heißt wiederum, dass in ${}R_{g}[X]$ die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen. Somit findet nach Fakt auf ${}D(g)$ keine Verzweigung statt. Oberhalb von ${}g$ gibt es aber auch wieder nur endlich viele Primideale und die Primideale aus ${}D(g)$ verzweigen nicht.

$\Box$