Elementare und algebraische Zahlentheorie/13/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 2 | 3 | 4 | 4 | 0 | 3 | 2 | 6 | 0 | 0 | 0 | 41 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Befreundete Zahlen.
- Die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen .
- Ein noetherscher Ring.
- Die Spur zu einem Element bei einer endlichen Körpererweiterung .
- Die Ordnung zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring .
- Ein gebrochenes Hauptideal zu einem Zahlbereich .
- Zwei verschiedene natürliche Zahlen und heißen befreundet, wenn gleich der Summe der echten Teiler von ist und umgekehrt.
- Die durch
definierte Funktion heißt die Faltung von und .
- Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
- Zu einem Element nennt man die
Spur
der -linearen Abbildung
die Spur von .
- Es sei das Primelement von . Die Zahl mit der Eigenschaft , wobei eine Einheit bezeichne, heißt die Ordnung von .
- Man nennt ein gebrochenes Ideal im Quotientenkörper der Form mit ein gebrochenes Hauptideal.
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Es sei eine ungerade Primzahl. Dann gilt für eine zu teilerfremde Zahl die Gleichheit
- Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Dann ist ein Primideal genau dann, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.
- Es sei ein
Zahlbereich
und
ein
Ideal
in .
Dann gibt es eine Produktdarstellung
mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen aus und eindeutig bestimmten Exponenten
, .
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die Primfaktorzerlegung von .
Es ist
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Wir setzen und und führen die Division mit Rest durch. Es ist (in oder in )
Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist , sodass die Division mit Rest ergibt:
Die nächste durchzuführende Division ist somit
Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist , sodass die Division mit Rest ergibt:
Da dies eine Einheit ist, sind und teilerfremd.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme in den (normierten) größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome
Lösung Euklidischer Algorithmus/Polynomring über Z mod 11/X^4+2X^3 +2X^2 +3 und X^2+ 7X + 10/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von .
Die kommt in den Zahlen jeweils einmal vor und in nochmal zusätzlich mit einer weiteren Potenz. In kommt also der Primfaktor mit dem Exponenten vor. Wegen der geraden Zahlen kommt der Primfaktor öfters vor. In ist also die größte Zehnerpotenz und somit besitzt genau Nullen am Ende.
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne in .
Der Zahl entspricht in das Paar . Das Element hat in die Ordnung . Das Element hat in wegen und die Ordnung . Die multiplikative Ordnung von ist somit . In gilt (durch abziehen von und etc.)
Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich
Diesem Paar entspricht das Element .
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass genau dann ein Quadratrest modulo einer Primzahl ist, wenn ist.
Der Fall ist direkt erledigt, sodass wir nur die Fälle und betrachten müssen. Bei
also genau dann gleich , wenn den Rest modulo besitzt.
Bei
ist aus den gleichen Gründen
mit der gleichen Konsequenz.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass jedes Ideal in einem Zahlbereich eine ganze Zahl enthält.
Sei . Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz über und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung
mit ganzen Zahlen . Bei kann man die Gleichung mit kürzen, da ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht ist. Es sei also in obiger Gleichung . Dann ist
und somit ist .
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme eine ganze Zahl derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung
in liegen.
Wir schreiben die Gleichung als
Daher ist
Also liegen die Lösungen in .
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein quadratischer Zahlbereich. Bestimme die Norm von und von .
Wegen ist die Multiplikationsmatrix von gleich und somit ist
Wegen
ist die Multiplikationsmatrix von gleich und somit ist
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei die Nenneraufnahme zu ( besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe mit
gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von .
Es sei ein Unterring, also , und seien die verschiedenen Primfaktoren von . Es sei derart, dass genau für gilt: . Es sei . Wir behaupten die Gleichheit
Insbesondere gibt es dann nur endliche viele Zwischenringe, da es nur endlich viele Teilmengen aus gibt.
Die Inklusion ist klar. Ein Element links hat die Gestalt
Es sei umgekehrt . Wegen kann man schreiben
Dabei kann man nach kürzen annehmen, dass Zähler und Nenner teilerfremd sind. Angenommen, sei ein Primteiler von , der nicht zu , , gehöre. Schreibe mit und teilerfremd. Wir multiplizieren mit und erhalten
Hierbei ist insbesondere zu teilerfremd. Es sei . Dann ist
Daraus folgt und damit , Widerspruch.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)