Elliptische Kurve/Höhenfunktion/Einführung/Textabschnitt
Es sei
eine über einem Zahlkörper definierte elliptische Kurve, gegeben durch eine kurze Weierstraßgleichung . Wir wollen auf den Punkten von eine Höhenfunktion definieren, die im Beweis des Satzes von Mordell-Weil helfen soll. Dazu muss sie gewisse Eigenschaften bezüglich der Addition erfüllen. Wir arbeiten (statt mit der durch die Einbettung gegebene Höhe) mit der Abbildung
Affin wird also ein Punkt einfach auf projiziert.
Lemma
Es sei eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper und sei ein fixierter Punkt aus .
Dann gibt es eine Konstante derart, dass für jeden Punkt die absolute Höhe die Abschätzung
erfüllt.
Beweis
Wir können annehmen, dass die -Koordinate von gleich ist, die Gleichung habe die Form
(durch die Verschiebung können wir nicht davon ausgehend, dass ist), es ist also . Es sei , dessen Höhe ist also nach Definition die absolute Höhe von . Es geht darum, eine Höhenabschätzung für zu zeigen, wobei
ist. Die expliziten Formel für die Koordinaten der Summe liefern
siehe Aufgabe. Die Summanden im Bruch haben die Form und , es ist ja fixiert. Die Höhe dieser ersten Terme kann man wegen Fakt jeweils durch eine Konstante mal nach oben abschätzen. Vom zuletzt genannten Term betrachten wir das Quadrat, also
und es geht wieder darum, die Höhe dieser Summanden nach oben abzuschätzen. Da die Summanden bis auf Konstanten die Form mit besitzen, haben wir insgesamt eine Abschätzung nach oben der Form . Durch Ziehen der Quadratwurzel erhalten wir wieder eine Abschätzung der gewünschten Form.
De folgende Satz besagt, dass bei einer elliptischen Kurve über einem Zahlkörper die über die -Projektion auf die projektive Gerade definierte logarithmische Höhe eine
schwache Höhenfunktion
ist.
Satz
Es sei eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper mit einer Weierstraßgleichung
und zugehöriger Projektion , . Dann erfüllt die zugehörige logarithmische Höhe die folgenden Eigenschaften.
- Zu jedem Punkt
gibt es eine Konstante derart, dass für jeden Punkt
die Abschätzung
erfüllt ist.
- Es gibt eine Konstante derart, dass für alle
die Abschätzung
gilt.
- Zu jeder Schranke ist
endlich.