Es sei eine
elliptische Kurve
über , gegeben in ganzzahliger Darstellung. Für fast alle Primzahlen ist dann modulo eine elliptische Kurve über . Es sei die Anzahl der -Punkte von , die ja endlich ist. Aufgrund der Abschätzung von Hasse erwartet man eine Größenordnung von . Es fällt einem zunächst mal kein Grund ein, warum die Zahlen zu verschiedenen Primzahlen etwas miteinander zu tun haben sollten. Deshalb packt man diese Daten in eine -Reihe und hofft, dass sich dadurch Gesetzmäßigkeiten ergeben
(bzw. dieser Zugang ist sinnvoll, weil dadurch Gesetzmäßigkeiten sichtbar werden).
Statt mit direkt arbeitet man mit , da diese Terme um schwanken. Für Primzahlen mit schlechter Reduktion müssen besondere Festlegungen getroffen werden.
Zu einer
elliptischen Kurve
über in ganzzahliger Darstellung und einer Primzahl definiert man
-
Nach
Aufgabe
erfüllen bei guter Reduktion die Zahlen
ebenfalls diese rekursive Relation, allerdings erst für
,
für
gilt dort
.
Reihen von dieser Bauart nennt man
Dirichletreihen,
man fasst sie als Funktion in der einen komplexen Variablen auf, wobei das Konvergenzverhalten von den Koeffizienten abhängt. Die bekannteste Reihe von dieser Form ist die
Riemannsche -Funktion,
die durch
-
gegeben sind, dort sind also sämtliche Koeffizienten gleich .
Für die
Riemannsche -Funktion
gilt
-
nach
Fakt.
Ebenso besitzt die -Reihe zu einer elliptischen Kurve neben der additiven Darstellung auch eine multiplikative Darstellung, bei der die
Weilschen Zeta-Funktionen
zu eine wichtige Rolle spielen. Gemäß
Fakt
gilt im Falle guter Reduktion
-
d.h. das beschreibt vollständig die Zeta-Funktion der Reduktion . Wenn man in die obige Zeta-Funktion
einsetzt, so erhält man
-
Wenn man versucht, darüber das Produkt über alle Primzahlen zu bilden, so fällt zunächst auf, dass das Produkt über den linken Faktor im Nenner ergibt und dass das Produkt über den rechten Faktor
ergibt. Man kann sich also auf den Zähler konzentrieren.
Die folgende Aussage beschreibt die multiplikative Version der -Reihe.
Aufgrund von
Definition
sind die Koeffizienten der -Reihe
-
multiplikativ,
daher gibt es nach
Fakt
eine Produktdarstellung
mit den lokalen Faktoren
-
Wir müssen zeigen, dass diese Faktoren mit den im Satz formulierten Faktoren in den beiden Fällen übereinstimmen.
Bei guter Reduktion wird
-
behauptet. Wir schreiben den letzten Bruch unter Verwendung von
Fakt
als geometrische Reihe, es ist also
-
Wenn man hier
(siehe
Aufgabe
mit
)
die Terme zusammenfasst, die sich auf beziehen, so erhält man Koeffizienten, die die Anfangsbedingungen und die rekursiven Bedingungen erfüllen, also mit den Koeffizienten aus den Definitionen übereinstimmen.
Der Fall von schlechter Reduktion folgt direkt aus der geometrischen Reihe.
Wenn man die Zeta-Funktion für die Primzahlen mit schlechter Reduktion als
-
bzw.
-
ansetzt, so erhält man die Darstellung
und die -Reihe ergibt sich bis auf die beiden Vorfaktoren, die von der Riemannschen Zetafunktion herkommen, als ein Produkt von invertierten Zetafunktionen.