Endomorphismus/Nilpotent/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl ${}n$ derart gibt, dass die ${}n$-te Hintereinanderschaltung

${}\varphi ^{n}=0\,$

ist.

Definition

Eine quadratische Matrix ${}M$ heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass das ${}n$-te Matrixprodukt

${}M^{n}=\underbrace {M\circ \cdots \circ M} _{n{\text{-mal}}}=0\,$

ist.

Beispiel

Es sei ${}M$ eine obere Dreiecksmatrix, bei der alle Diagonalelemente ${}0$ seien. ${}M$ hat also die Gestalt

${\begin{pmatrix}0&*&\cdots &\cdots &*\\0&0&*&\cdots &*\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&*\\0&\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}.$

Dann ist ${}M$ nilpotent, und zwar bewegt sich mit jedem Potenzieren die ${}0$-Hauptdiagonale nach rechts oben. Wenn man nämlich beispielsweise das Produkt für die ${}i$-te Zeile und die ${}j$-te Spalte mit

${}i\geq j-1\,$

ausrechnet, so kommt in den Teilprodukten stets eine ${}0$ vor und das Ergebnis ist ${}0$.

Beispiel

Ein Spezialfall zu Beispiel ist die Matrix

${\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}.$

Eine wichtige Beobachtung dabei ist, dass unter dieser Abbildung ${}e_{n}$ auf ${}e_{n-1}$ abgebildet wird, ${}e_{n-1}$ auf ${}e_{n-2}$ und schließlich ${}e_{2}$ auf ${}e_{1}$, welches auf ${}0$ abgebildet wird. Die ${}(n-1)$-te Potenz der Matrix bildet ${}e_{n}$ auf ${}e_{1}$ ab und ist nicht die Nullmatrix, die ${}n$-te Potenz der Matrix ist die Nullmatrix.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zu einem Eigenwert ${}\lambda \in K$ besitzt der Hauptraum ${}H=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$ die Eigenschaft, dass die Einschränkung von ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ auf ${}H$ nilpotent ist.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist nilpotent.
2. Für jeden Vektor ${}v\in V$ gibt es ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit

   ${}\varphi ^{k}(v)=0\,.$

3. Es gibt eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit

   ${}\varphi ^{k}(v_{i})=0\,$

   für ${}i=1,\ldots ,n$.

4. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ von ${}V$ und ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit

   ${}\varphi ^{k}(v_{i})=0\,$

   für ${}i=1,\ldots ,n$.

Beweis

Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis (oder ein endliches Erzeugendensystem) und es sei ${}k_{j}\in \mathbb {N}$ mit

${}\varphi ^{k_{j}}(v_{j})=0\,$

gegeben. Dann erfüllt

${}k:={\max {\left(k_{j},j=1,\ldots ,m\right)}}\,$

die Eigenschaft für jeden Erzeuger. Von (3) nach (4) ist klar. Von (4) nach (1). Zu ${}v\in V$ ist

${}v=\sum _{i=1}^{m}a_{i}v_{i}\,.$

Aufgrund der Linearität von ${}\varphi ^{k}$ ist

${}\varphi ^{k}(v)=\varphi ^{k}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}\varphi ^{k}(v_{i})=0\,,$

also ist

${}\varphi ^{k}=0\,.$

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Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist nilpotent
2. Das Minimalpolynom zu ${}\varphi$ ist eine Potenz von ${}X$.
3. Das charakteristische Polynom zu ${}\varphi$ ist eine Potenz von ${}X$.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich unmittelbar aus den Definitionen, die Äquivalenz von (2) und (3) ergibt sich aus Fakt.

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Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ trigonalisierbar,

und zwar gibt es eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird, in der alle Diagonaleinträge ${}0$ sind.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.

$\Box$