Experimentwiederholung/Gesetz der großen Zahlen/Textabschnitt
Wir geben hier einen weiteren Beweis für das Gesetz der großen Zahlen, der näher am üblichen wahrscheinlichkeitstheoretischen Zugang liegt als der in der Vorlesung gegebene. Allerdings werden wir die Konzepte Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz nur versteckt verwenden. Alles bezieht sich auf die Hintereinanderausführung eines Bernoulli-Experimentes zur Erfolgswahrscheinlichkeit . Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen in den zugehörigen Produkträumen bezeichnen wir mit .
Es liege eine Bernoulli-Verteilung auf mit der Wahrscheinlichkeit für vor. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist
- Es ist
- Es ist
Somit ist
- Es ist
Dann ist
und
Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit werde -fach unabhängig voneinander durchgeführt.
Für jedes gilt dann die Tschebyschow-Abschätzung
Zu jedem
wird die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer -fachen Wiederholung eines Bernoulli-Experimentes der Abstand zwischen relativer Häufigkeit und Erfolgswahrscheinlichkeit zumindest ist, bei hinreichend großen beliebig klein.
Bei einer -fachen Durchführung eines Bernoulli-Experimentes ist die relative Häufigkeit die Anzahl der positiven Ausgänge dividiert durch die Anzahl der Durchführungen. Wenn man für das Experiment den Bernoulli-Raum mit ansetzt und die -fache Hintereinanderausführung durch den Produktraum beschreibt, so ist die relative Häufigkeit gleich . Der Abstand zur Erfolgswahrscheinlichkeit ist somit
Für die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Abstand größer als ist, gibt es nach Fakt die Abschätzung
Für hinreichend groß wird die rechte Seite beliebig klein.
Zu jedem
konvergiert die Folge
gegen .
Das bedeutet, dass die relative Häufigkeit bei einem -fach wiederholten Bernoulli-Experiment zur Wahrscheinlichkeit bei hinreichend groß mit beliebig hoher Wahrscheinlichkeit im Intervall liegt.
Dies ergibt sich als ein Spezialfall von Fakt, wenn man ansetzt.