Fundamentalsatz der Algebra/Einführung/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gibt es eine komplexe Zahl ${}w$ mit

${}w^{n}=z\,.$

Beweis

Bei ${}z=0$ ist ${}w=0$ eine Lösung, sei also ${}z\neq 0$. Nach Fakt gibt es eine Darstellung

${}z=re^{{\mathrm {i} }\varphi }\,$

mit ${}r\in \mathbb {R} _{+}$. Es sei ${}s=r^{1/n}$ die reelle ${}n$-te Wurzel von ${}r$, die nach Fakt existiert. Wir setzen ${}w=se^{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}$. Dann ist nach Fakt

${}w^{n}={\left(se^{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}\right)}^{n}=s^{n}{\left(e^{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}\right)}^{n}=re^{n{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}}=re^{{\mathrm {i} }\varphi }=z\,.$

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Satz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein ${}x\in T$ mit

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in T.$

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

Beweis

Aufgrund von Fakt ist ${}f(T)$ kompakt, also abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist ${}f(T)\leq M$ für eine reelle Zahl ${}M$. Wegen ${}T\neq \emptyset$ besitzt ${}f(T)$ wegen Fakt ein Supremum ${}s$ in ${}\mathbb {R}$, das wegen der Abgeschlossenheit nach Fakt zu ${}f(T)$ gehört, also das Maximum von ${}f(T)$ ist. Daher gibt es auch ein ${}x\in T$ mit ${}f(x)=s$.

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Satz

Es sei ${}P\in {\mathbb {K} }[X]$ ein Polynom.

Dann gibt es ein ${}w\in {\mathbb {K} }$ mit

${}\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert \,$

für alle ${}z\in {\mathbb {K} }$.

D.h. das Minimum des Betrags eines Polynoms wird angenommen.

Beweis

Es sei

${}P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\,$

(mit ${}a_{n}\neq 0$). Wir setzen ${}a:={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=0,\ldots ,n-1\right)}}$ und ${}r:={\max {\left({\frac {na+\vert {a_{0}}\vert +1}{\vert {a_{n}}\vert }},1\right)}}$. Bei ${}n=0$ ist die Aussage klar, sei also ${}n\geq 1$. Für ${}z$ mit ${}\vert {z}\vert \geq r$ gelten die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {P(z)}\vert &\geq \vert {a_{n}z^{n}}\vert -\vert {\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}z^{i}}\vert \\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}\vert {a_{i}}\vert \vert {z}\vert ^{i}\\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}a\vert {z}\vert ^{n-1}\\&\geq \vert {z}\vert ^{n-1}(\vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert -na)\\&\geq \vert {a_{0}}\vert +1\\&>\vert {a_{0}}\vert .\end{aligned}}$

Auf der kompakten Menge ${}B(0,r)$ nimmt die stetige Funktion ${}z\mapsto \vert {P(z)}\vert$ nach Fakt ihr Minimum an, d.h. es gibt ein ${}w\in B(0,r)$ mit ${}\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert$ für alle ${}z\in B(0,r)$. Wegen ${}\vert {a_{0}}\vert =\vert {P(0)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert$ und der Überlegung für ${}z$ mit ${}\vert {z}\vert \geq r$ ergibt sich, dass im Punkt ${}w$ überhaupt das Minimum der Funktion angenommen wird.

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Satz

Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

Beweis

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Aufgrund von Fakt gibt es ein ${}z_{0}\in {\mathbb {C} }$ mit ${}\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(z_{0})}\vert$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Wir müssen zeigen, dass dieses Betragsminimum ${}0$ ist. Wir nehmen also an, dass ${}\vert {P(z_{0})}\vert >0$ ist, und müssen dann ein ${}z_{1}$ finden, an dem der Betrag des Polynoms kleiner wird. Durch Verschieben (d.h. indem wir die Situation in der neuen Variablen ${}z-z_{0}$ betrachten) können wir annehmen, dass das Minimum an der Stelle ${}0$ angenommen wird, und durch Division durch ${}P(z_{0})$ können wir annehmen, dass das Polynom im Nullpunkt den Wert ${}1$ besitzt. D.h. wir können annehmen, dass ein Polynom

${}P=1+c_{k}z^{k}+c_{k+1}z^{k+1}+\cdots +c_{d}z^{d}\,$

mit ${}k\geq 1$ und ${}c_{k}\neq 0$ vorliegt, das im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt. Wegen Fakt gibt es ein ${}\gamma \in {\mathbb {C} }$ mit ${}\gamma ^{k}=-c_{k}^{-1}$. Wir setzen ${}z=\gamma w$ (das ist eine Variablenstreckung). In der neuen Variablen ${}w$ erhalten wir ein Polynom der Form

$1-w^{k}+w^{k+1}Q(w),$

das nach wie vor im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt (hierbei ist ${}Q(w)\in {\mathbb {C} }[w]$ ein Polynom). Aufgrund von Fakt gibt es ein ${}b\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}\vert {Q(w)}\vert \leq b$ für alle ${}w\in B\left(0,1\right)$. Für reelles ${}w$ mit ${}0<w<{\min {\left(1,b^{-1}\right)}}$ gilt

${}{\begin{aligned}\vert {1-w^{k}+w^{k+1}Q(w)}\vert &\leq \vert {1-w^{k}}\vert +\vert {w^{k+1}Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}+w^{k+1}\vert {Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}(1-w\vert {Q(w)}\vert )\\&<1.\end{aligned}}$

Wir haben also Stellen gefunden, wo der Betrag des Polynoms einen kleineren Wert annimmt, ein Widerspruch.

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