Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Graduierter Modul/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter ${}R$-Modul.

Dann besitzt der zugehörige ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${}{\widetilde {M}}$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ die Eigenschaft, dass für jede offene Menge ${}U=D({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ der ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$-Modul ${}\Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}$ eine ${}\mathbb {Z}$-Graduierung besitzt, die mit den Restriktionsabbildungen verträglich ist.

Beweis

Die Aussage bedeutet zunächst für ${}M=R$, dass die Strukturgarbe auf den offenen Mengen zu homogenen Idealen eine Graduierung besitzt. Dies ist für die ${}D(f)$ zu homogenem ${}f$ klar und folgt daraus für beliebige ${}D({\mathfrak {a}})$ zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$. Ebenso ergibt sich der Modulfall.

$\Box$

Es ergibt keinen Sinn, zu sagen, dass ${}{\widetilde {M}}$ als Ganzes graduiert ist, da dies auf beliebigen offenen Mengen, die nicht von einem homogenen Ideal herrühren, nicht definiert ist. Allerdings erlaubt es die Graduierung auf den homogenen Teilmengen, auf dem zu ${}R$ gehörenden projektiven Spektrum eine Modulgarbe zu definieren.

Definition

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter ${}R$-Modul. Es sei ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu ${}R$. Die ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modulgarbe ${}{\widehat {M}}$ zu ${}M$ wird folgendermaßen festgelegt: Zu jeder offenen Menge ${}V=D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq Y$ zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ setzt man

${}\Gamma {\left(V,{\widehat {M}}\right)}:=\Gamma {\left(D({\mathfrak {a}}),{\widetilde {M}}\right)}_{0}\,$

und versieht dies mit den natürlichen Restriktionsabbildungen und der natürlichen ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modulstruktur.

Für einen graduierten ${}R$-Modul ${}M$ und ein homogenes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ setzen wir ${}M_{({\mathfrak {p}})}={\left(M_{h{\text{ homogen}},h\notin {\mathfrak {p}}}\right)}_{0}$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter ${}R$-Modul. Es sei ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu ${}R$ und ${}{\widehat {M}}$ der zugehörige ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modul. Dann gelten folgende Eigenschaften

1. ${}{\widehat {M}}$ ist ein quasikohärenter Modul.
2. Zu einem homogenen Element ${}f\in R_{+}$ ist

   ${}\Gamma {\left(D_{+}(f),{\widehat {M}}\right)}={\left(M_{f}\right)}_{0}\,.$

   Ferner ist ${}{\widehat {M}}$ eingeschränkt auf ${}D_{+}(f)$ gleich der affinen Vergarbung von ${}{\left(M_{f}\right)}_{0}$ auf ${}D_{+}(f)=\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{f}\right)}_{0}\right)}$.

3. Zu einem homogenen Primideal ${}R_{+}\not \subseteq {\mathfrak {p}}$ ist

   ${}{\widehat {M}}_{\mathfrak {p}}=M_{({\mathfrak {p}})}\,.$

4. Es ist

   ${}\Gamma {\left(Y,{\widehat {M}}\right)}={\left(\Gamma {\left(D(R_{+}),{\widetilde {M}}\right)}\right)}_{0}\,.$

Beweis

1. Die Garbeneigenschaft ergibt sich aus der Garbeneigenschaft von ${}{\widetilde {M}}$. Für die Quasikohärenz siehe Teil (2).
2. Für homogenes ${}f\in R_{+}$ ist

   ${}\Gamma {\left(D_{+}(f),{\widehat {M}}\right)}=\Gamma {\left(D(f),{\widetilde {M}}\right)}_{0}=(M_{f})_{0}\,$

   nach Fakt. Somit stimmt die Garbe ${}{\widehat {M}}{|}_{D_{+}(f)}$ global auf ${}D_{+}(f)$ mit der Garbe ${}{\widetilde {(M_{f})_{0}}}$ überein. Für die offenen Teilmengen ${}D(g)\subseteq D(f)$ gelten die entsprechenden Gleichheiten, und diese Identifizierungen sind mit den Restriktionen verträglich. Daher stimmen die Garben überhaupt überein und es liegt Quasikohärenz vor.

3. Folgt aus (2) über

   ${}{\begin{aligned}{\widehat {M}}_{\mathfrak {p}}&=\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in D_{+}(f)}\,\Gamma {\left(D_{+}(f),{\widehat {M}}\right)}\\&=\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in D_{+}(f)}\,{\left(M_{f}\right)}_{0}\\&={\left(\operatorname {colim} _{{\mathfrak {p}}\in D_{+}(f)}\,{\left(M_{f}\right)}\right)}_{0}\\&={\left(M_{R\setminus {\mathfrak {p}}\cap H}\right)}_{0}\\&=M_{({\mathfrak {p}})}.\end{aligned}}$

4. Dies ist ein Spezialfall der allgemeinen Definition.

$\Box$

Die letzte Aussage bedeutet, dass im Allgemeinen der globale Schnittmodul von ${}{\widehat {M}}$ auf ${}Y$ nicht unmittelbar aus ${}M$ berechnet werden kann.

Definition

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter kommutativer Ring und ${}R(n)$ der um ${}n$ verschobene graduierte Ring. Dann bezeichnet man mit

${}{\mathcal {O}}_{Y}(n):={\widehat {R(n)}}\,$

den zugehörigen ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modul auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$. Man spricht von den getwisteten Strukturgarben.

Beispiel

Zum Polynomring ${}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]$, ${}d\geq 1$, mit der Standardgraduierung ist

${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{d},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(\ell )\right)}=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]_{\ell }\,,$

also die Polynome vom Grad ${}\ell$ in ${}d+1$ Variablen. Für negatives ${}\ell$ ist dies der Nullraum, für ${}\ell =0$ (die Strukturgarbe) ist dies gleich ${}K$, für ${}\ell =1$ besteht es aus allen Linearformen, u.s.w. Für die offenen Mengen ${}D_{+}(X_{i})$ gilt

${}\Gamma {\left(D_{+}(X_{i}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(\ell )\right)}={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]_{X_{i}}\right)}_{\ell }=K[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{i}}}]\cdot X_{i}^{\ell }\,.$

Für den projektiven Raum haben wir schon in Beispiel gesehen, dass diese Garben invertierbar sind. Dies gilt auch allgemein.

Lemma

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter kommutativer Ring.

Dann sind die getwisteten Strukturgarben ${}{\mathcal {O}}_{Y}(n)$ auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ invertierbar.

Beweis

Es sei ${}R=R_{0}[x_{1},\ldots ,x_{d}]=R_{0}[X_{1},\ldots ,X_{d}]/{\mathfrak {a}}$ mit ${}x_{i}$ vom Grad ${}1$. Dann erzeugen die ${}x_{i}$ auch das irrelevante Ideal und daher liegt eine offene affine Überdeckung

${}\operatorname {Proj} {\left(R\right)}=\bigcup _{i=1}^{d}D_{+}(x_{i})\,$

vor. Es sei ${}x$ eines der ${}x_{i}$. Nach Fakt  (2) ist

${}{\mathcal {O}}_{Y}(n){|}_{D_{+}(x)}={\mathcal {L}}\,,$

wobei ${}{\mathcal {L}}$ die affine Vergarbung des ${}{\left(R_{x}\right)}_{0}$-Moduls ${}L=(R_{x}(n))_{0}=(R_{x})_{n}$ auf

${}D_{+}(x)=\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{x}\right)}_{0}\right)}\,$

bezeichne. In dieser Situation ist aber

${\left(R_{x}\right)}_{0}\longrightarrow {\left(R_{x}\right)}_{n},\,h\longmapsto hx^{n},$

ein ${}{\left(R_{x}\right)}_{0}$-Modulisomorphismus, und daher liegt ein ${}{\mathcal {O}}_{Y}{|}_{D_{+}(x)}$-Modulisomorphismus

${\mathcal {O}}_{Y}{|}_{D_{+}(x)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{Y}(n){|}_{D_{+}(x)}$

vor.

$\Box$

Die getwisteten Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{Y}(n)$ sind für das projektive Schema ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ charakteristische, allerdings vom graduierten Ring ${}R$ abhängige invertierbare Garben.