Hilbertscher Nullstellensatz/Geometrische Version/Korollare/Textabschnitt
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal beschrieben werde. Es sei ein Polynom, das auf verschwindet.
Dann gehört zum Radikal von , d.h. es gibt ein mit .
Angenommen, gehöre nicht zum Radikal von . Dann gibt es nach Fakt auch ein maximales Ideal mit und mit . Nach Fakt ist
für gewisse . Die Eigenschaft bedeutet, dass im zugehörigen Restekörper nicht ist, und das bedeutet . Wegen ist aber ein Punkt von , sodass dort nach Voraussetzung verschwindet. Das ist also ein Widerspruch.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring und dem affinen Raum .
Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in und Radikalidealen in .
Dabei gehen Radikale auf ihre Nullstellengebilde und affin-algebraische Mengen auf ihre Verschwindungsideale.
Sei affin-algebraisch. Dann gilt nach Fakt (3). Für ein Radikal gilt die Inklusion ebenfalls nach Fakt (2). Die umgekehrte Inklusion, also , ist der Inhalt des Hilbertschen Nullstellensatzes.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien , , Polynome mit
Dann erzeugen die das Einheitsideal in .
Es sei das von den erzeugte Ideal. Die Voraussetzung besagt, dass
leer ist. Dann ist . Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von , also selbst, zu in gehört. D.h. dass das Einheitsideal ist.
Der Hilbertsche Nullstellensatz, wie wir ihn für den affinen Raum und den Polynomring formuliert haben, gilt entsprechend für jedes und den zugehörigen Restklassenring .
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine endlich erzeugte -Algebra mit Nullstellengebilde . Es sei ein Ideal in und ein Element, das auf verschwindet.
Dann gibt es ein mit in .
Die Verschwindungsbedingung in besagt zurückübersetzt in den affinen Raum, dass dort gilt, wobei jetzt ein repräsentierendes Polynom aus und das Urbildideal in sei. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz (für den affinen Raum) gibt es ein mit . Dies bedeutet modulo , dass in die Beziehung gilt.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal beschrieben werde. Es seien , , Polynome mit
Dann erzeugen die das Einheitsideal in .
Es sei das von allen , , erzeugte Ideal in . Die Voraussetzung besagt, dass
(auf ) leer ist. Dann ist , da ja ebenfalls leer ist. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von , also selbst, zu in gehört.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal beschrieben werde. Es sei ein Polynom, das auf keine Nullstelle besitzt.
Dann ist im Restklassenring eine Einheit.
Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und zwei affin-algebraische Mengen in .
Dann gilt
Sei und . Die Aussage ergibt sich aus
wobei die erste Gleichung auf dem Hilbertschen Nullstellensatz beruht.
Auch diese Eigenschaften gelten nicht ohne die Voraussetzung algebraisch abgeschlossen, wie das folgende Beispiel zeigt.
Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven
Bei sind das beides irreduzible Quadriken. Der Durchschnitt wird beschrieben durch das Ideal
Da das Polynom im Reellen keine Nullstelle hat, ist der Durchschnitt leer. Das Verschwindungsideal des (leeren) Durchschnittes ist natürlich das Einheitsideal, die Summe der beiden Verschwindungsideale ist aber nicht das Einheitsideal.