Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}f_{1}\colon U_{1}\rightarrow {\mathbb {C} }$ und ${}f_{2}\colon U_{2}\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit ${}U_{1},U_{2}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, mit ${}0\in U_{1},U_{2}$ und ${}f_{1}(0)=f_{2}(0)=0$. Dann heißen ${}f_{1},f_{2}$ rechtsäquivalent (im Nullpunkt), wenn es offene Teilmengen ${}0\in V_{1}\subseteq U_{1}$ und ${}0\in V_{2}\subseteq U_{2}$ und eine biholomorphe Abbildung

$\varphi \colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

mit

${}f_{1}=f_{2}\circ \varphi \,$

gibt.

Es liegt dann ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}V_{1}&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&V_{2}&\\&\!\!\!\!\!f_{1}\searrow &\downarrow f_{2}\!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor. Man beachte, dass man dabei die offenen Definitionsbereiche durch kleinere ersetzen darf. Typischerweise wird diese Verkleinerung stillschweigend durchgenommen, man ändert die Bezeichnung der offenen Menge nicht. Statt von einer biholomorphen Abbildung spricht man auch von einer (holomorphen) Transformation oder einem (holomorphen) Koordinatenwechsel. Von Rechtsäquivalenz spricht man, da die vermittelnde biholomorphe Abbildung rechts steht. Mit der Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ gilt dann die Beziehung ${}f_{1}\circ \varphi ^{-1}=f_{2}$, was die Symmetrie dieses Konzeptes sicherstellt. Insgesamt liegt eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Paare ${}(U,f)$ bzw. auf der Menge der holomorphen Abbildungskeime vor.

Wenn man sich nicht auf den Nullpunkt konzentrieren möchte, so gilt eine entsprechende Definition, bei der dann ${}\varphi$ den Punkt ${}P_{1}$ auf den Punkt ${}P_{2}$ abbilden muss und wo im Bildraum ${}{\mathbb {C} }$ noch die Bildpunkte ineinander verschoben werden.

Lemma

Es seien ${}f_{1}\colon U_{1}\rightarrow {\mathbb {C} }$ und ${}f_{2}\colon U_{2}\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit ${}U_{1},U_{2}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, mit ${}0\in U_{1},U_{2}$ und ${}f_{1}(0)=f_{2}(0)=0$. Für beide Funktionen sei ${}0$ ein regulärer Punkt.

Dann sind ${}f_{1}$ und ${}f_{2}$ zueinander rechtsäquivalent.

Beweis

Da die Rechtsäquivalenz eine Äquivalenzrelation ist, können wir annehmen dass ${}f_{2}$ die Projektion

${\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{1},$

die Projektion auf die erste Koordinate ist. Dann folgt die Aussage direkt aus der holomorphen Version des Satzes über implizite Abbildungen.

$\Box$

Insofern ist das Konzept Rechtsäquivalenz hauptsächlich für kritische Punkte von holomorphen Funktionen relevant. Im rein algebraischen Kontext gibt es keinen Satz über implizite Abbildungen und dort gibt es im Allgemeinen keinen Isomorphismus zwischen regulären Ringen gleicher Dimension.

Lemma

Es seien ${}f_{1}\colon U_{1}\rightarrow {\mathbb {C} }$ und ${}f_{2}\colon U_{2}\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit ${}U_{1},U_{2}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, mit ${}0\in U_{1},U_{2}$ und ${}f_{1}(0)=f_{2}(0)=0$. Die beiden Funktionen seien rechtsäquivalent.

Dann sind die Hyperflächen ${}f_{1}^{-1}(0)$ und ${}f_{2}^{-1}(0)$ im Nullpunkt zueinander lokal analytisch isomorph und es liegt ein ${}{\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{n}/{\left(f_{1}\right)}\cong {\mathcal {O}}_{n}/{\left(f_{2}\right)}$ vor.

Beweis

Die biholomorphe Abbildung ${}\varphi \colon V_{1}\rightarrow V_{2}$, die es aufgrund der Rechtsäquivalenz gibt, überführt die Faser ${}V_{1}\cap f_{1}^{-1}(0)$ unmittelbar in die Faser ${}V_{2}\cap f_{2}^{-1}(0)$. Die biholomorphe Abbildung definiert dabei einen ${}{\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus

${\mathcal {O}}_{n}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{n},\,h\longmapsto h\circ \varphi ,$

der ${}f_{2}$ in ${}f_{1}$ überführt. Dies induziert einen ${}{\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus

${\mathcal {O}}_{n}/{\left(f_{2}\right)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{n}/{\left(f_{1}\right)}.$

$\Box$

Beispiel

Eine nichtkonstante holomorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ in einer Variablen ${}y$ (mit ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen) ist im Nullpunkt rechtsäquivalent zu einer Potenz ${}y^{k}$. Die Potenzreihenentwicklung von ${}f$ im Nullpunkt hat die Form

$ay^{k}+gy^{k}$

mit ${}a\in {\mathbb {C} }$, ${}a\neq 0$, und ${}g\in {\mathfrak {m}}=(y)$. Dann ist in einer offenen Umgebung von ${}0$ die Funktion ${}a+g$ nullstellenfrei und daher ist auf einer offenen Umgebung der ${}0$ auch eine Wurzel ${}{\sqrt[{k}]{a+g}}$ wohldefiniert und holomorph. Daher ist dort durch ${}y\mapsto y{\sqrt[{k}]{a+h}}$ eine biholomorphe Abbildung gegeben, die ${}f$ und ${}y^{k}$ als rechtsäquivalent erweist. Verschiedene Potenzen sind untereinander nicht rechtsäquivalent nach Fakt.

Bemerkung  

Die Rechtsäquivalenz bedeutet insbesondere, dass es ${}n$ konvergente Potenzreihen ${}\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}$ in ${}n$ Variablen (nämlich den Komponentenfunktionen zu ${}\varphi$) gibt, sagen wir

${}\varphi _{i}=\sum a_{\nu ,i}Y^{\nu }\,,$

derart, dass die Determinante der Matrix

${\left(a_{j,i}\right)}$

(die ja die lineare Approximation von ${}\varphi$ im Nullpunkt ist) von ${}0$ verschieden ist und dass die Potenzreihengleichheit

${}f_{1}=f_{2}{\left(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right)}\,$

gilt.

Lemma

Es seien ${}f_{1}\colon U_{1}\rightarrow {\mathbb {C} }$ und ${}f_{2}\colon U_{2}\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit ${}U_{1},U_{2}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, mit ${}0\in U_{1},U_{2}$ und ${}f_{1}(0)=f_{2}(0)=0$. Die beiden Funktionen seien rechtsäquivalent.

Dann überführt der zur biholomorphen Abbildung

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

gehörende ${}{\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus

$\varphi ^{*}\colon {\mathcal {O}}\longrightarrow {\mathcal {O}},\,g\longmapsto g\circ \varphi ,$

das Jacobiideal ${}J_{f_{2}}$ in das Jacobiideal ${}J_{f_{1}}$, also

${}\varphi ^{*}J_{f_{2}}=J_{f_{1}}\,.$

Insbesondere haben die beiden Funktionen im Nullpunkt die gleiche Milnorzahl.

Beweis

Aufgrund der Rechtsäquivalenz gibt es eine biholomorphe Abbildung ${}\varphi \colon U_{1}\rightarrow U_{2}$ und dadurch einen ${}{\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus

$\varphi ^{*}\colon {\mathcal {O}}_{2}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{1},\,g\longmapsto g\circ \varphi ,$

(die Indizes beziehen sich auf die Räume, nicht auf die Dimension). Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Koordinaten von ${}U_{1}$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ die Koordinaten von ${}U_{2}$. Nach der Kettenregel gilt die Beziehung

${}\left(Df_{2}\right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}=\left(Df_{1}\right)_{P}\,$

für ${}P\in U_{1}$ bzw., mit den partiellen Ableitungen und als Gleichheit von Funktionstupeln auf ${}U_{1}$ geschrieben,

${}\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial y_{1}}}\circ \varphi ,\,\ldots ,\,{\frac {\partial f_{2}}{\partial y_{n}}}\circ \varphi \right)\cdot {\left(D\varphi \right)}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right)\,.$

Insbesondere gilt

${}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial y_{j}}}\circ \varphi \right)}\cdot {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\,$

im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{1}$ und das bedeutet

${}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}\in J_{f_{2}}{\mathcal {O}}_{1}\,$

für alle ${}i$, also

${}J_{f_{1}}\subseteq J_{f_{2}}{\mathcal {O}}_{1}\,.$

Wegen der Symmetrie der Situation gilt Gleichheit.

$\Box$