Injektiver Modul/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein ${}R$ -Modul ${}I$ heißt injektiv, wenn es für jeden ${}R$ -Modul ${}M$ , jeden Untermodul ${}N\subseteq M$ und jeden ${}R$ -Modul-Homomorphismus ${}\varphi \colon N\rightarrow I$ eine Fortsetzung

{\tilde {\varphi }}\colon M\longrightarrow I

gibt.

Über einem Körper ist jeder Vektorraum injektiv, da jeder Untervektorraum in einem Vektorraum ein direktes Komplement besitzt, und die lineare Abbildung auf dem Komplement irgendwie fortgesetzt werden kann. Für ${}R=\mathbb {Z}$ wird die Sache schon komplizierter.

Definition

Eine kommutative Gruppe ${}G$ heißt divisibel, wenn es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und jedem ${}g\in G$ ein ${}h\in G$ mit ${}g=nh$ gibt.

Die Gruppe ${}\mathbb {Z}$ selbst ist nicht divisibel, dagegen ist ${}\mathbb {Q}$ als kommutative Gruppe divisibel, da ja zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Multiplikationsabbidung

\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto nx,

surjektiv ist (man kann durch ${}n$ dividieren, daher der Name divisibel).

Lemma

Zu einer divisiblen Gruppe ${}D$

ist auch jede Restklassengruppe ${}D/H$ divisibel.

Beweis

Sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Für jedes ${}d\in D$ gibt es ${}e\in D$ mit ${}d=ne$ . Dann gilt auch ${}[d]=n[e]$ in ${}D/H$ .

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Lemma

Zu jeder kommutativen Gruppe ${}G$

gibt es eine divisible Gruppe ${}D$ mit ${}G\subseteq D$ .

Beweis

Wir schreiben ${}G=\mathbb {Z} ^{(J)}/H$ mit einer geeigneten Indexmenge ${}J$ , die ein Erzeugendensystem von ${}G$ indiziere. Die freie Gruppe ${}\mathbb {Z} ^{(J)}$ kann man in die divisible Gruppe ${}\mathbb {Q} ^{(J)}$ einbetten. Daher gibt es eine Einbettung

{}G\subseteq \mathbb {Q} ^{(J)}/H\,

und letztere ist nach Fakt divisibel.

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Lemma

Eine kommutative Gruppe ${}G$

ist genau dann divisibel, wenn sie injektiv ist.

Beweis

Kommutative Gruppe/Injektiv/Divisibel/Fakt/Beweis

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Lemma

Es sei ${}I$ ein injektiver Modul über einem kommutativen Ring ${}R$ .

Dann spaltet jede kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow I\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$

von ${}R$ -Moduln.

Beweis

Zur Identität ${}\operatorname {Id} _{I}\colon I\rightarrow I$ gibt es eine Fortsetzung ${}\varphi \colon B\rightarrow I$ . Diese vermittelt die Spaltung.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}S$ eine kommutative ${}R$ -Algebra und ${}I$ ein injektiver ${}R$ -Modul.

Dann ist auch der ${}S$ -Modul ${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$ injektiv.

Beweis

Es seien ${}A\subseteq B$ ${}S$ -Moduln und

\varphi \colon A\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)},\,a\longmapsto \varphi _{a},

ein ${}S$ -Modulhomomorphismus. Dies bedeutet explizit, dass ${}\varphi _{a}(s)=\varphi _{as}(1)$ gilt. Wir betrachten ${}A$ und ${}B$ als ${}R$ -Moduln und wir betrachten den ${}R$ -Modulhomomorphismus

A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}{\stackrel {\theta \mapsto \theta (1)}{\longrightarrow }}I.

Aufgrund der Injektivität von ${}I$ als ${}R$ -Modul gibt es eine ${}R$ -lineare Fortsetzung ${}{\tilde {\varphi }}\colon B\rightarrow I$ dieser Hintereinanderschaltung. Wir behaupten, dass die Abbildung

B\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)},\,b\longmapsto (s\mapsto {\tilde {\varphi }}(sb)),

ein ${}S$ -Modulhomomorphismus ist. Zunächst ist klar, dass die Abbildung

S{\stackrel {1\mapsto b}{\longrightarrow }}B{\stackrel {\tilde {\varphi }}{\longrightarrow }}I

zu ${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$ gehört. Die Gesamtzuordnung ist ${}S$ -linear aufgrund der ${}S$ -Modulstruktur von ${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$ . Für ${}a\in A$ gilt ${}{\tilde {\varphi }}(sa)=\varphi _{as}(1)=\varphi _{a}(s)$ , sodass in der Tat eine Fortsetzung gegeben ist.

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Korollar

Zu einem ${}R$ -Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$

gibt es einen injektiven Modul ${}I$ mit ${}M\subseteq I$ .

Beweis

Für die kommutative Gruppe ${}M$ gibt es nach Fakt eine divisible Gruppe ${}D$ und eine Einbettung ${}M\subseteq D$ . Nach Fakt ist ${}D$ ein injektiver ${}\mathbb {Z}$ -Modul. Nach Fakt ist dann auch der ${}R$ -Modul ${}\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}$ injektiv. Es liegt ein kommutatives Diagramm

{\begin{matrix}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&D&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,M\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

vor, wobei die vertikalen Abbildungen durch ${}v\mapsto (r\mapsto rv)$ gegeben sind. Alle Abbildungen sind injektiv. Die linke vertikale Abbildung und die untere horizontale Abbildung sind ${}R$ -Modulhomomorphismen, daher liegt insgesamt ein ${}R$ -Untermodul ${}M\subseteq \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}$ vor.

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Definition

Eine injektive Auflösung eines ${}R$ -Moduls ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$ ist ein exakter Komplex

0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow I_{2}\longrightarrow \ldots

von ${}R$ -Moduln, wobei die ${}I_{n}$ , ${}n\geq 0$ , injektive Moduln sind.

Lemma

Ein ${}R$ -Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$

besitzt eine injektive Auflösung.

Beweis

Nach Fakt gibt es einen injektiven Modul ${}I_{0}$ mit ${}M\subseteq I_{0}$ . Für den Restklassenmodul ${}I_{0}/M$ gibt es entsprechend einen injektiven Modul ${}I_{1}$ mit ${}I_{0}/M\subseteq I_{1}$ , u.s.w.

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Lemma

Es seien ${}L$ und ${}M$ ${}R$ -Moduln über einem kommutativen Ring ${}R$ . Es sei

0\longrightarrow L\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots

ein exakter Komplex,

0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots

eine injektive Auflösung und

\varphi \colon L\longrightarrow M

ein ${}R$ -Modulhomomorphismus.

Dann gibt es ${}R$ -Modulhomomorphismen

$\varphi _{n}\colon L_{n}\longrightarrow I_{n},$

die mit den Homomorphismen in den Komplexen kommutieren.

Beweis

Die Existenz der kommutierenden Homomorphismen wird durch Induktion über ${}n$ bewiesen. Zum Homomorphismus ${}L\rightarrow M\subseteq I_{0}$ gibt es wegen ${}L\subseteq L_{0}$ und der Injektivität von ${}I_{0}$ einen kommutierenden Homomorphismus

\varphi _{0}\colon L_{0}\longrightarrow I_{0},

dies sichert den Induktionsanfang. Es sei nun die Existenz der Homomorphismen bis ${}\varphi _{n}$ bereits bewiesen. Wir betrachten das kommutative Diagramm

{\begin{matrix}L_{n-1}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L_{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L_{n+1}&\\\!\!\!\!\!\varphi _{n-1}\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi _{n}\downarrow &&\downarrow &&\\I_{n-1}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&I_{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&I_{n+1}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}

wobei der rechte vertikale Pfeil zu konstruieren ist. Es liegt eine Injektion

L_{n}/\operatorname {bild} L_{n-1}\longrightarrow L_{n+1}

vor, und wegen der Kommutativität wird ${}L_{n-1}$ insgesamt auf ${}0$ nach ${}I_{n+1}$ hinein abgebildet. Daher liegt ein Homomorphismus

L_{n}/\operatorname {bild} L_{n-1}\longrightarrow I_{n+1}

vor und dieser besitzt eine Fortsetzung nach ${}L_{n+1}$ .

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Im Allgemeinen gibt es in der vorstehenden Situation mehrere Homomomorphismen von Kettenkomplexen. Allerdings sind sie zueinander homotop.

Lemma

Es sei ${}M$ ein ${}R$ -Modul über einem kommutativen Ring ${}R$ . Es sei

0\longrightarrow M\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots

ein exakter Komplex und es sei

0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots

ein Komplex, wobei die Moduln ${}I_{n}$ injektiv seien. Es seien

\varphi ,\psi \colon L_{\bullet }\longrightarrow I_{\bullet }

Homomorphismen von Kettenkomplexen.

Dann sind ${}\varphi$ und ${}\psi$ homotop.

Beweis

Wir definieren induktiv die Homotopien

\Theta _{n}\colon L_{n+1}\longrightarrow I_{n}

und legen

\Theta _{-1}\colon L_{0}\longrightarrow M=I_{-1}

als die Nullabbildung fest ( ${}M$ ist aber im Allgemeinen nicht injektiv). Nehmen wir nun an, dass die Homotopien bis einschließlich ${}\Theta _{n-1}$ schon konstruiert seien. Es liegt ein kommutatives Diagramm

{\begin{matrix}L_{n-1}&{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}&L_{n}&{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}&L_{n+1}&\\\downarrow &\Theta _{n-1}\swarrow &\downarrow &&\downarrow &&\\I_{n-1}&{\stackrel {e_{n}}{\longrightarrow }}&I_{n}&{\stackrel {e_{n+1}}{\longrightarrow }}&I_{n+1}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}

vor, und es gilt

{}\varphi _{n-1}-\psi _{n-1}=e_{n-1}\circ \Theta _{n-2}+\Theta _{n-1}\circ d_{n}\,.

Wir betrachten den Homomorphismus ${}\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}$ von ${}L_{n}$ nach ${}I_{n}$ . Für ${}x\in L_{n-1}$ gilt dabei

{}{\begin{aligned}{\left(\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}\right)}(d_{n}(x))&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-{\left(e_{n}\circ \Theta _{n-1}\right)}(d_{n}(x))\\&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-e_{n}(\Theta _{n-1}(d_{n}(x)))\\&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-e_{n}(-e_{n-1}(\Theta _{n-2}(x))+\varphi _{n-1}(x)-\psi _{n-1}(x))\\&=\varphi _{n}(d_{n}(x))-\psi _{n}(d_{n}(x))-e_{n}(\varphi _{n-1}(x))+e_{n}(\psi _{n-1}(x))\\&=\varphi _{n}(d_{n}(x))-e_{n}(\varphi _{n-1}(x))-\psi _{n}(d_{n}(x))+e_{n}(\psi _{n-1}(x))\\&=0,\end{aligned}}

da ja die ${}\varphi$ als auch die ${}\psi$ mit den Ableitungen kommutieren. Dies bedeutet, dass ${}\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}$ das Bild von ${}d_{n}$ auf ${}0$ abbildet. Wir haben also einen induzierten Homomorphismus

L_{n}/\operatorname {bild} d_{n}\longrightarrow I_{n}.

Da der Komplex ${}L_{\bullet }$ exakt ist, liegt eine injektive Abbildung

L_{n}/\operatorname {bild} d_{n}\longrightarrow L_{n+1}

vor, und da ${}I_{n}$ injektiv ist, ergibt sich eine Fortsetzung

-\Theta _{n}\colon L_{n+1}\longrightarrow I_{n}.

Dabei gilt

{}\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}=-\Theta _{n}\circ d_{n+1}\,.

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Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$ . Es sei ${}I_{\bullet }$ eine injektive Auflösung von ${}N$ . Dann nennt man die ${}n$ -te Homologie des Komplexes

\operatorname {Hom} {\left(M,I_{n-1}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(M,I_{n}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(M,I_{n+1}\right)}

den ${}n$ -ten Extmodul zu ${}M$ und ${}N$ . Er wird mit ${}\operatorname {Ext} ^{n}(M,N)$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$ .

Dann sind die ${}n$ -ten Extmoduln ${}\operatorname {Ext} ^{n}(M,N)$ unabhängig von der für ${}N$ gewählten injektiven Auflösung.

Beweis

Es seien

0\longrightarrow N\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots

und

0\longrightarrow N\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots

injektive Auflösungen von ${}N$ . Dann gibt es nach Fakt Homomorphismen von Kettenkomplexen

\varphi \colon L_{\bullet }\longrightarrow I_{\bullet }

und

\psi \colon I_{\bullet }\longrightarrow L_{\bullet }.

Dabei sind die Hintereinanderschaltungen ${}\psi \circ \varphi$ und ${}\varphi \circ \psi$ nach Fakt homotop zur Identität auf ${}L_{\bullet }$ bzw. auf ${}I_{\bullet }$ . Dies gilt nach Fakt auch für die zugehörigen Homomorphismen auf den Komplexen ${}\operatorname {Hom} {\left(M,L_{\bullet }\right)}$ bzw. ${}\operatorname {Hom} {\left(M,I_{\bullet }\right)}$ . D.h. für die induzierten Homomorphismen auf den Homologien gilt, dass die Verknüpfung