Integration auf Maßräumen/Konvergenzsätze/Fatou und Lebesgue/Textabschnitt

Die folgende Aussage heißt Lemma von Fatou.

Satz

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und es sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen.

Dann gilt

${}\int _{M}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(f_{n}\right)}\,d\mu \leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\,.$

Beweis

Die Funktionen ${}f=\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(f_{n}\right)}$ und ${}h_{n}=\inf {\left(f_{m},\,m\geq n\right)}$ sind nach Aufgabe bzw. Fakt messbar, und die Folge ${}h_{n}$ konvergiert nach Aufgabe wachsend gegen ${}f$. Wir können den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden und erhalten

${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\int _{M}h_{n}\,d\mu \right)}\,.$

Für jedes ${}k\in \mathbb {N}$ ist wegen

${}h_{k}\leq f_{m}\,$

für alle ${}m\geq k$ auch

${}\int _{M}h_{k}\,d\mu \leq \int _{M}f_{m}\,d\mu \,$

für alle ${}m\geq k$ und damit

${}\int _{M}h_{k}\,d\mu \leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} _{n\geq k}\,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}=\operatorname {lim} \operatorname {inf} _{n\geq 0}\,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\,,$

wobei die Gleichheit rechts darauf beruht, dass Häufungspunkte nicht von endlich vielen Folgengliedern abhängen.  Dies ergibt insgesamt die Behauptung.

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Wir kommen zum Satz von der majorisierten Konvergenz, der auch Satz von Lebesgue heißt.

Satz

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und es sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion

$h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

mit ${}\vert {f_{n}(x)}\vert \leq h(x)$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und alle ${}x\in M$.

Dann ist auch die Grenzfunktion ${}f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar, und es gilt

${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$

Beweis

Die Majorante ${}h$ sichert nach Fakt, dass die ${}f_{n}$ integrierbar sind; da diese Abschätzung auch für die Grenzfunktion gilt, ist diese ebenfalls integrierbar. Wir wenden das Lemma von Fatou auf die beiden nichtnegativen Funktionenfolgen ${}{\left(h+f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(h-f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ an und erhalten unter Verwendung der Linearität einerseits

${}{\begin{aligned}\int _{M}h\,d\mu +\int _{M}f\,d\mu &=\int _{M}(h+f)\,d\mu \\&\leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}(h+f_{n})\,d\mu \right)}\\&=\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}h\,d\mu +\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&=\int _{M}h\,d\mu +\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\end{aligned}}$

und andererseits

${}{\begin{aligned}\int _{M}h\,d\mu -\int _{M}f\,d\mu &=\int _{M}(h-f)\,d\mu \\&\leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}(h-f_{n})\,d\mu \right)}\\&=\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}h\,d\mu -\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&=\int _{M}h\,d\mu -\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}.\end{aligned}}$

Zusammenfassend ergibt sich

${}{\begin{aligned}\int _{M}f\,d\mu &\leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&\leq \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\\&\leq \int _{M}f\,d\mu .\end{aligned}}$

Daher stimmt der Limes inferior von ${}\int _{M}f_{n}\,d\mu$ mit dem Limes superior davon überein und somit ist dies nach Aufgabe gleich dem Limes von ${}\int _{M}f_{n}\,d\mu$.

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