Kreisteilungskörper/Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Einführung/Textabschnitt

Das quadratische Reziprozitätsgesetz gehört zu den Hauptresultaten der Zahlentheorie und wurde erstmals von Gauß bewiesen. Es seien ${}p$ und ${}q$ verschiedene ungerade Primzahlen. Es geht dann um die Frage, ob ${}p$ in ${}\mathbb {Z} /(q)$ ein Quadrat ist, also eine Quadratwurzel besitzt, oder eben nicht. Die Aussage des Satzes ist nun, dass dies in einer direkten Beziehung zu der „reziproken Eigenschaft“ steht, ob ${}q$ in ${}\mathbb {Z} /(p)$ ein Quadrat ist. Es gibt eine Reihe von ziemlich verschiedenen Beweisen für diesen Satz, auch relativ elementare, siehe beispielsweise Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 8. Der Nachteile dieser elementaren Beweise ist, dass sie konzeptionell eher undurchsichtig sind. Man kann die Beweise Zeile für Zeile nachprüfen, fragt sich letztlich aber dennoch, warum die Aussage überhaupt stimmt.

Definition

Für eine ungerade Primzahl ${}p$ und eine zu ${}p$ teilerfremde Zahl ${}k\in \mathbb {Z}$ definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben ${}\left({\frac {k}{p}}\right)$ (sprich „${}k$ nach ${}p$“), durch

$\left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,$

Für einfache Eigenschaften des Legendre-Symbols siehe den Anhang. Für Vielfache von ${}p$ im Zähler setzt man das Legendre-Symbol gleich ${}0$. Für die Beziehung zwischen quadratischen Resten und Kreisteilungsringen ist das folgende Konzept entscheidend.

Definition

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ die erste primitive komplexe Einheitswurzel. Dann nennt man

${}g=\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}\,$

die (erste) quadratische Gaußsumme.

Lemma

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl.

Dann gilt für das Quadrat der ersten quadratischen Gaußsumme die Gleichung

${}g^{2}=(-1)^{(p-1)/2}p=\left({\frac {-1}{p}}\right)p\,.$

Beweis

Die hintere Gleichung beruht auf Fakt. Nach Definition ist

${}g=\sum _{r=0}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}=\sum _{r=1}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}\,.$

Daher ist

${}{\begin{aligned}g^{2}&={\left(\sum _{r=1}^{p-1}\left({\frac {r}{p}}\right)\zeta ^{r}\right)}{\left(\sum _{s=1}^{p-1}\left({\frac {s}{p}}\right)\zeta ^{s}\right)}\\&=\sum _{1\leq r,s\leq p-1}\left({\frac {rs}{p}}\right)\zeta ^{r+s}.\end{aligned}}$

Mit der neuen Variablen

${}s=rt\,$

können wir dies als

${}{\begin{aligned}\sum _{1\leq r,t\leq p-1}\left({\frac {rrt}{p}}\right)\zeta ^{r+rt}&=\sum _{1\leq r,t\leq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\zeta ^{r(1+t)}\\&=\sum _{1\leq r,t\leq p-1,\,t\neq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\zeta ^{r(1+t)}+\sum _{1\leq r\leq p-1}\left({\frac {-1}{p}}\right)\zeta ^{0}\\&=\sum _{1\leq r,t\leq p-1,\,t\neq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\zeta ^{r(1+t)}+(p-1)\left({\frac {-1}{p}}\right).\end{aligned}}$

Für ${}t\neq -1$, also ${}t$ zwischen ${}1$ und ${}p-2$, ist jedenfalls ${}\xi =\zeta ^{1+t}$ auch eine primitive ${}p$-te Einheitswurzel. Für ein solches fixiertes ${}t$ ist

${}\sum _{1\leq r\leq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\xi ^{r}=\left({\frac {t}{p}}\right)\sum _{1\leq r\leq p-1}\xi ^{r}=-\left({\frac {t}{p}}\right)\,.$

Die obige Summe ist also

$-\sum _{1\leq t\leq p-2}\left({\frac {t}{p}}\right)+(p-1)\left({\frac {-1}{p}}\right)=-\sum _{1\leq t\leq p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)+p\left({\frac {-1}{p}}\right)=p\left({\frac {-1}{p}}\right)\,,$

da es nach Fakt gleich viele Quadrate wie Nichtquadrate in ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ gibt.

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Diese Aussage bedeutet insbesondere, dass im ${}p$-ten Kreisteilungsring die quadratische Erweiterung zu ${}p$ oder ${}-p$ liegt, wobei das Vorzeichen im Lemma mitbestimmt wird.

Lemma

Es seien ${}p$ und ${}q$ verschiedene ungerade Primzahlen. Es sei ${}S$ der quadratische Zahlbereich zu ${}\left({\frac {-1}{p}}\right)p$ und es sei ${}R_{p}$ der ${}p$-te Kreisteilungsring. Es sei ${}f$ die multiplikative Ordnung von ${}q$ in ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist ${}\left({\frac {-1}{p}}\right)p$ ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(q)$.
2. Über ${}(q)$ liegen in ${}\operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ zwei Primideale.
3. Über ${}(q)$ liegt in ${}\operatorname {Spek} {\left(R_{p}\right)}$ eine gerade Anzahl von Primidealen.
4. Es ist ${}f$ ein Teiler von ${}{\frac {p-1}{2}}$
5. ${}q$ ist ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar nach Aufgabe. Von (2) nach (3). Nach Fakt gilt ${}S\subseteq R_{p}$, sodass diese Richtung aus Fakt folgt, da sich der nichttrivale Automorphismus der quadratischen Erweiterung zu einem Automorphismus des Kreisteilungsringes fortsetzt, der die beiden Fasern vertauscht. Von (3) nach (2). Es sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal über ${}(q)$. Nach Fakt  (3) ist

${}{\#\left(G_{\mathfrak {q}}\right)}=\operatorname {grad} _{\mathbb {Z} /(q)}\kappa ({\mathfrak {q}})=f\,$

und nach Voraussetzung ist wegen Fakt ${}{\frac {p-1}{f}}$ gerade. Nach Aufgabe ist ${}{\frac {p-1}{f}}$ auch die Anzahl der Primideale über ${}(q)$ im Zerlegungsring und die Restekörper sind ${}\mathbb {Z} /(q)$. Da der Index der Zerlegungsgruppe in der zyklischen Galoisgruppe

${}\operatorname {Aut} \,(R_{p})\cong {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p-1),+,0\right)}\,$

gerade ist, umfasst der Zerlegungskörper den quadratischen Zahlbereich. Deshalb sind auch dessen Restekörper gleich dem Grundkörper und es liegt im Zahlbereich Zerlegung vor.

Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar aufgrund von Fakt. (4) bedeutet, dass

${}q^{\frac {p-1}{2}}=1\mod p\,,$

deshalb folgt die Äquivalenz von (4) und (5) aus dem Euler-Kriterium.

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Satz

Es seien ${}p$ und ${}q$ verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:

${}\left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}={\begin{cases}-1\,,{\text{ wenn }}p=q=3\mod 4\,,\\1\,,{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Beweis

Nach Fakt ist unter Verwendung von Fakt und Fakt

${}{\begin{aligned}\left({\frac {q}{p}}\right)&=\left({\frac {\left({\frac {-1}{p}}\right)p}{q}}\right)\\&=\left({\frac {\left({\frac {-1}{p}}\right)}{q}}\right)\cdot \left({\frac {p}{q}}\right)\\&=\left({\frac {(-1)^{\frac {p-1}{2}}}{q}}\right)\cdot \left({\frac {p}{q}}\right)\\&=\left({\frac {-1}{q}}\right)^{\frac {p-1}{2}}\cdot \left({\frac {p}{q}}\right)\\&={\left((-1)^{\frac {q-1}{2}}\right)}^{\frac {p-1}{2}}\cdot \left({\frac {p}{q}}\right)\\&=(-1)^{{\frac {q-1}{2}}\cdot {\frac {p-1}{2}}}\cdot \left({\frac {p}{q}}\right).\end{aligned}}$

$\Box$