Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 19/kontrolle
- Übungsaufgaben
In den folgenden Aufgaben besprechen wir eine algebraische Realisierung des Möbius-Bandes, die auf dem Konzept eines Geradenbündels beruht.
Ein Geradenbündel auf einer Varietät (über einem Körper ) ist eine Varietät zusammen mit einem Morphismus und einer offenen affinen Überdeckung
derart, dass es Isomorphismen
über derart gibt, dass zu die Übergangsabbildungen
linear sind, also auf der Ringebene durch mit gegeben sind.
Zu jeder Varietät gibt es das sogenannte triviale Geradenbündel . Die Definition besagt, dass „lokal“ jedes Geradenbündel trivial ist, obwohl es „global“ keineswegs trivial sein muss.
Es sei eine Varietät und ein Geradenbündel über . Zeige, dass zu jedem Punkt die Faser isomorph zu einer affinen Geraden ist.
Es sei eine Varietät und ein Geradenbündel über . Zeige, dass es zu jedem Punkt eine wohldefinierte - Vektorraumstruktur auf der Faser gibt.
Aufgrund der vorstehenden Aussage besitzt jedes Geradenbündel einen Nullschnitt, der über jedem Basispunkt aus dem Nullpunkt in der Faser besteht.
Es sei eine reelle Varietät, das triviale Geradenbündel und der Nullschnitt. Zeige, dass in der reellen Topologie nicht zusammenhängend ist.
Es sei
und
zusammen mit der natürlichen Abbildung . Zeige, dass das triviale Geradenbündel ist. Ist
ein Geradenbündel?
Es sei ein Körper der Charakteristik . Wir betrachten den kommutativen Ring
und die - Algebra
Es sei und mit der zugehörigen Spektrumsabbildung
- Zeige, dass und eine offene affine Überdeckung von ist.
- Zeige
und
- Zeige, dass ein Geradenbündel über ist.
Wir betrachten die Situation aus Aufgabe 19.7 zu . Es sei
die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises. Zeige, dass das Bild von
in landet, dass gilt, und dass das Bild von niemals den Nullschnitt trifft.
Wir betrachten die Situation aus Aufgabe 19.7 zu . Zeige, dass ohne den Nullschnitt, aufgefasst mit der metrischen Topologie, zusammenhängend ist. Folgere, dass dieses Geradenbündel nicht trivial ist.
Es sei
und
zusammen mit der natürlichen Abbildung . Zeige, dass diese Abbildung die Eigenschaft aus Aufgabe 19.3 erfüllt, aber nicht die Eigenschaft aus Aufgabe 19.4.
Zeige, dass durch
ein Morphismus des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige, dass das Urbild zu jedem Punkt aus zwei Punkten besteht.
Es sei
der reelle Einheitskreis. Zeige, dass zu jedem die Abbildung
ein algebraischer Morphismus ist.
Tipp: Betrachte die Abbildung auf dem komplexen Einheitskreis.
Es sei eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung ganz ist.
Es seien und Integritätsbereiche und sei eine ganze Ringerweiterung. Es sei ein Element, das in eine Einheit ist. Zeige, dass dann schon in eine Einheit ist.
Es sei eine ganze Ringerweiterung und sei . Zeige: Wenn , aufgefasst in , eine Einheit ist, dann ist eine Einheit in .
Man gebe ein Beispiel einer ganzen Ringerweiterung , wo es einen Nichtnullteiler gibt, der ein Nullteiler in wird.
Es sei
und
Begründe, dass die Ringerweiterung
ganz ist und finde eine Ganzheitsgleichung für und für (kleine Buchstaben bezeichnen die Restklassen der Variablen).
Es sei eine Ringerweiterung zwischen endlichen kommutativen Ringen und . Zeige, dass eine ganze Ringerweiterung vorliegt.
Es sei ein kommutativer Ring und
eine (als Algebra) endlich erzeugte - Algebra, die ganz über sei. Zeige, dass ein endlich erzeugter - Modul ist.
Es sei
ein ganzer Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und ein weiterer Ringhomomorphismus. Zeige, dass auch
ganz ist.
- Es sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass ganz-abgeschlossen im Polynomring ist.
- Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring , der im Polynomring nicht ganz-abgeschossen ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei das durch erzeugte numerische Untermonoid. Bestimme eine Restklassendarstellung des zugehörigen Monoidringes.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien kommutative Ringe und seien und Ringhomomorphismen derart, dass ganz über und ganz über ist. Zeige, dass dann auch ganz über ist.
(Vergleiche Aufgabe 10.26).
<< | Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018) | >> |
---|