Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 3/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die nicht-leeren Zariski-offenen Teilmengen auf der affinen Geraden genau die (maximalen) Definitionsbereiche von rationalen Funktionen sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein unendlicher Körper und es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die durch definierte Funktion unendlich viele Werte annimmt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Skizziere die reellen Nullstellengebilde von und bestimme das Verschwindungsideal zu den affin-algebraischen Mengen , die aus allen Geraden durch den Nullpunkt und durch die Eckpunkte eines regulären -Ecks (mit als einem Eck) besteht.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man beschreibe eine Abbildung
die bezüglich der Zariski-Topologie stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine affin-algebraische Menge. Zeige, dass unter der Identifizierung
die Teilmenge auch eine affin-algebraische Menge des ist. Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein metrischer Raum und eine nichtleere Teilmenge. Zeige, dass durch
eine wohldefinierte, stetige Funktion gegeben ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass genau dann abgeschlossen ist, wenn es eine stetige Funktion mit
gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die offenen und die abgeschlossenen Bälle bzw. im zu nicht offen bzw. abgeschlossen in der Zariski-Topologie sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Charakterisiere in die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.
Ein Element eines kommutativen Ringes heißt nilpotent, wenn für eine natürliche Zahl ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und es seien nilpotente Elemente. Zeige, dass dann die Summe ebenfalls nilpotent ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und ein nilpotentes Element. Zeige, dass eine Einheit ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und ein nilpotentes Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in , das eine Einheit ist. Man gebe auch das Inverse dazu an.
Ein kommutativer Ring heißt reduziert, wenn das einzige nilpotente Element von ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring reduziert ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass die Potenzen , alle dasselbe Radikal besitzen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Es sei ein Radikal in . Zeige, dass das Urbild ein Radikal in ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Seien und zwei Ideale in derart, dass ihre Radikale gleich sind. Zeige, dass dann auch ihre Nullstellenmengen übereinstimmen. Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht stimmt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Sei
eine Abbildung, die durch Polynome in Variablen gegeben sei. Zeige, dass stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 3.19 ändern
Es sei ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere Zariski-offene Menge dicht ist.
Tipp: Induktion über .
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme zu den folgenden Teilmengen der affinen Ebene den Zariski-Abschluss.
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Die folgende Aufgabe benutzt einige weiterführende topologische Begriffe.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper.
- Man zeige, dass für bzw. die Standardtopologie (die metrische oder euklidische Topologie) feiner ist als die Zariski-Topologie.
- Man zeige, dass für die Zariski-Topologie mit der kofiniten Topologie übereinstimmt. Gilt dies auch für mit ?
- Wann ist die Zariski-Topologie , wann ist sie hausdorffsch?
- Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn ein endlicher Körper ist?
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