Kurs:Analysis/Teil I/28/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	4	3	4	6	4	4	10	5	5	5	64

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

   ${\frac {a}{b}},$

   wobei ${}a,b\in \mathbb {Z}$ und ${}b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn ${}ad=bc$ (in ${}\mathbb {Z}$) gilt.

2. Die Teilmenge ${}M\subseteq K$ heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
3. Die Gaußklammer ${}\lfloor x\rfloor$ ist die größte ganze Zahl ${}n\leq x$.
4. Für ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt

   $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$

   die Kosinusreihe zu ${}z$.

5. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in \mathbb {R}$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

   ${}f(x)>f(x')\,$

   gilt.

6. Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von ${}f$.

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Es gebe eine reelle Zahl ${}q$ mit ${}0\leq q<1$ und ein ${}k_{0}$ mit

   ${}\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$

   für alle ${}k\geq k_{0}$. Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
2. Es sei ${}I=[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit

   $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in [a,b].$

3. Es seien

   $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   stetig differenzierbare Funktionen.

   Dann gilt

   $\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=fg|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt.$

Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen seien bekannt.

1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
5. Doro ist ein Wurm.
6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
3. Fängt der späte Igel den Wurm?

Lösung

1. Lilly ist ein Igel. Beweis durch Widerspruch. Nehmen wir an, dass Lilly kein Igel ist. Dann ist sie nach (3) ein Vogel. Da Lilly nach (7) um ${}5$ Uhr schon unterwegs ist, ist nach (6) Lilly ein früher Vogel. Nach (1) fängt Lilly also den Wurm. Da nach (5) Doro ein Wurm ist, wird er von Lilly gefangen im Widerspruch zu (2).
2. Nach dem ersten Teil ist Lilly ein Igel, und nach (7) steht sie um 5 Uhr auf. Dies ist nach (4) für Igel spät, Lilly ist also ein später Igel und somit ein spätes Tier.
3. Da nach dem zweiten Teil Lilly ein später Igel ist und sie nach (2) Doro, die nach (5) ein Wurm ist, nicht fängt, fängt der späte Igel im Allgemeinen nicht den Wurm.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für positive natürliche Zahlen ${}a,n,k$ die Beziehung

${}a^{(n^{k})}=\underbrace {{\left({\left(\ldots {\left({\left(a^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}\ldots \right)}^{n}\right)}^{n}} _{k{\text{ Potenzierungen}}}\,$

gilt.

Lösung

Wir führen Induktion nach ${}k$ (für beliebiges ${}a,n$). Bei

${}k=1\,$

steht links

${}a^{(n^{1})}=a^{n}\,$

und rechts steht die einfache Potenzierung ${}a^{n}$, das stimmt also überein. Zum Induktionsschluss nehmen wir an, dass die Aussage für ein bestimmtes ${}k$ schon bewiesen sei und wir müssen die entsprechende Aussage für ${}k+1$ zeigen. Unter Verwendung von Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und der Induktionsvorausetzung ist

${}a^{(n^{k+1})}=a^{(n^{k}\cdot n)}={\left(a^{(n^{k})}\right)}^{n}={\left(\underbrace {{\left({\left(\ldots {\left({\left(a^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}\ldots \right)}^{n}\right)}^{n}} _{k{\text{ Potenzierungen}}}\right)}^{n}=\underbrace {{\left({\left({\left(\ldots {\left({\left(a^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}\ldots \right)}^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}} _{k+1{\text{ Potenzierungen}}}\,,$

was den Induktionsschritt beweist. Nach dem Induktionsprinzip ist die Aussage allgemein bewiesen.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$. Sie besagt (für $n\geq 2$)

${}f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}\,.$

Lösung

Der Induktionsanfang für ${}n=2$ ist durch

${}f_{3}\cdot f_{1}-f_{2}^{2}=2\cdot 1-1^{2}=1=(-1)^{2}\,$

gesichert. Es sei also die Aussage für ein ${}n$ schon bewiesen und betrachten wir die Aussage für ${}n+1$. Es ist

${}{\begin{aligned}f_{n+2}f_{n}-f_{n+1}^{2}&={\left(f_{n}+f_{n+1}\right)}f_{n}-f_{n+1}^{2}\\&=f_{n}^{2}+f_{n+1}f_{n}-f_{n+1}^{2}\\&=f_{n}^{2}+f_{n+1}{\left(f_{n}-f_{n+1}\right)}\\&=f_{n}^{2}+f_{n+1}{\left(f_{n}-f_{n}-f_{n-1}\right)}\\&=f_{n}^{2}-f_{n+1}f_{n-1}\\&=(-1){\left(f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}\right)}\\&=(-1)(-1)^{n}\\&=(-1)^{n+1}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Für die Eulersche Zahl ${}e$ seien die Abschätzungen

${}2,71\leq e\leq 2,72\,$

bekannt.

1. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von ${}e^{2}$ sagen?
2. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von ${}e^{-1}$ sagen?

Lösung

1. Es ist

   ${}2{,}71\cdot 2{,}71=7{,}3441\,$

   und

   ${}2{,}72\cdot 2{,}72=7{,}3984\,.$

   Somit ist

   ${}7{,}3441\leq e^{2}\leq 7{,}3984\,$

   und die Ziffernentwicklung von ${}e^{2}$ beginnt mit ${}7{,}3$, die zweite Nachkommaziffer liegt zwischen ${}4$ und ${}9$, über die weiteren Nachkommaziffern kann man keine Aussage machen.

2. Es ist

   ${}1:2{,}71=0{,}369...\,$

   und

   ${}1:2{,}72=0{,}367...\,.$

   Somit hat man die Abschätzungen

   ${}0{,}367\leq e^{-1}\leq 0{,}370\,.$

   Die Dezimalentwicklung von ${}e^{-1}$ beginnt also mit ${}0{,}36$, (${}3{,}7$ ist ausgeschlossen, da die Division durch ${}2{,}71$ nicht auf die Periode ${}9$ führt) die dritte Nachkommaziffer ist ${}7$ oder ${}8$ oder ${}9$, über die folgenden Stellen kann man keine Aussage machen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien die beiden komplexen Polynome

$P=X^{3}-2{\mathrm {i} }X^{2}+4X-1\,\,{\text{ und }}\,\,Q={\mathrm {i} }X-3+2{\mathrm {i} }$

gegeben. Berechne ${}P(Q)$ (es soll also ${}Q$ in ${}P$ eingesetzt werden).

Lösung

${}{\begin{aligned}P(Q)&=Q^{3}-2{\mathrm {i} }Q^{2}+4Q-1\\&={\left({\mathrm {i} }X-3+2{\mathrm {i} }\right)}^{3}-2{\mathrm {i} }{\left({\mathrm {i} }X-3+2{\mathrm {i} }\right)}^{2}+4{\left({\mathrm {i} }X-3+2{\mathrm {i} }\right)}-1\\&=-{\mathrm {i} }X^{3}+3{\mathrm {i} }^{2}(-3+2{\mathrm {i} })X^{2}+3{\mathrm {i} }{\left(-3+2{\mathrm {i} }\right)}^{2}X+{\left(-3+2{\mathrm {i} }\right)}^{3}\\&\,\,\,\,\,\,\,-2{\mathrm {i} }{\left({\mathrm {i} }^{2}X^{2}+2{\left(-3+2{\mathrm {i} }\right)}{\mathrm {i} }X+{\left(-3+2{\mathrm {i} }\right)}^{2}\right)}+4{\mathrm {i} }X-12+8{\mathrm {i} }-1\\&=-{\mathrm {i} }X^{3}+9X^{2}-6{\mathrm {i} }X^{2}+3{\mathrm {i} }{\left(9-4-12{\mathrm {i} }\right)}X-27+54{\mathrm {i} }+36-8{\mathrm {i} }\\&\,\,\,\,\,\,\,+2{\mathrm {i} }X^{2}-12X+8{\mathrm {i} }X-18{\mathrm {i} }-24+8{\mathrm {i} }+4{\mathrm {i} }X-13+8{\mathrm {i} }\\&=-{\mathrm {i} }X^{3}+{\left(9-4{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(24+27{\mathrm {i} }\right)}X-28+44{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.

Lösung

Wir beschränken uns auf die Situation ${}f(a)\leq u\leq f(b)$ und zeigen die Existenz von einem solchen ${}c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man ${}a_{0}:=a$ und ${}b_{0}:=b$, betrachtet die Intervallmitte ${}c_{0}:={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$ und berechnet

$f(c_{0}).$

Bei ${}f{\left(c_{0}\right)}\leq u$ setzt man

$a_{1}:=c_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=b_{0}$

und bei ${}f{\left(c_{0}\right)}>u$ setzt man

$a_{1}:=a_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=c_{0}.$

In jedem Fall hat das neue Intervall ${}[a_{1},b_{1}]$ die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung ${}f{\left(a_{1}\right)}\leq u\leq f{\left(b_{1}\right)}$ erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei ${}c$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Satz 7.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(a_{n}\right)}\leq u$ und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert ${}c$, also ${}f{\left(c\right)}\leq u$. Für die oberen Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(b_{n}\right)}\geq u$ und das überträgt sich ebenfalls auf ${}c$, also ${}f(c)\geq u$.  Also ist ${}f(c)=u$.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine reelle Lösung für die Gleichung

${}3^{x}-{\sqrt {3}}^{x+4}+20=0\,$

Lösung

Wie setzen

${}x=2y\,$

und schreiben die Gleichung als

${}3^{2y}-{\sqrt {3}}^{2y+4}+20=3^{2y}-3^{y+2}+20=(3^{y})^{2}-9\cdot 3^{y}+20=0\,.$

Mit

${}u=3^{y}\,$

ist dies die quadratische Gleichung

${}u^{2}-9u+20=0\,$

mit den beiden Lösungen

${}u=4,5\,.$

Somit ist

${}y=\log _{3}4,\log _{3}5\,$

und die beiden Lösungen sind

${}x=2\log _{3}4,2\log _{3}5\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Extrema der Funktion

$f\colon [-1,0]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt {x^{3}-x}}.$

Lösung

Es ist

${}x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1)\,.$

Für ${}x\in ]-1,0[$ sind die beiden linken Faktoren negativ ${}$ und der rechte ist positiv, daher ist ${}x^{3}-x$ auf ${}]-1,0[$ positiv mit Nullstellen an den beiden Rändern. Dies überträgt sich auf ${}f(x)$. Insbesondere nimmt ${}f$ an den beiden Randpunkten ${}-1$ und ${}0$ isolierte und globale Minima mit dem Wert ${}0$ an.

Zur Bestimmung von weiteren Extrema ziehen wir die Ableitung heran. Es ist

${}f'(x)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3x^{2}-1}{\sqrt {x^{3}-x}}}\,.$

Die Nullstellenbedingung wird zu

${}x^{2}={\frac {1}{3}}\,,$

wobei nur

${}x=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\,$

im Intervall liegt. In diesem Punkt wird das globale Maximum angenommen.

Aufgabe (10 (1+2+3+4) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)=e^{x}-x^{e}\,.$

1. Bestimme die erste und die zweite Ableitung von ${}f$.
2. Bestimme die Taylor-Entwicklung von ${}f$ im Punkt ${}e$ vom Grad ${}\leq 2$.
3. Bestimme die Nullstellen von ${}f$.
4. Bestimme die lokalen Extrema von ${}f$.

Lösung

1. Es ist

   ${}f'(x)=e^{x}-ex^{e-1}=e{\left(e^{x-1}-x^{e-1}\right)}\,$

   und

   ${}f^{\prime \prime }(x)={\left(e^{x}-ex^{e-1}\right)}'=e^{x}-e(e-1)x^{e-2}\,.$

2. Es ist

   ${}f(e)=0\,,$

   ${}f'(e)=e{\left(e^{e-1}-e^{e-1}\right)}=0\,$

   und

   ${}f^{\prime \prime }(e)=e^{e}-e(e-1)e^{e-2}=e^{e}-e^{2}e^{e-2}+ee^{e-2}=e^{e}-e^{e}+e^{e-1}=e^{e-1}\,.$

   Die Taylorentwicklung im Punkt ${}e$ vom Grad ${}2$ ist daher

   ${\frac {e^{e-1}}{2}}(x-e)^{2}.$

3. Es ist ${}e$ eine Nullstelle von ${}f$, wir behaupten, dass dies die einzige Nullstelle ist. Wegen ${}f(0)=1$ können wir ${}x>0$ annehmen. Die Gleichung

   ${}e^{x}-x^{e}=0\,$

   bzw. ${}e^{x}=x^{e}$ führt über den natürlichen Logarithmus auf ${}x=e\ln x$ und auf

   ${}g(x)=x-e\ln x=0\,.$

   Die Ableitung von ${}g(x)$ ist

   $1-{\frac {e}{x}}.$

   Für ${}x<e$ ist dies negativ und für ${}x>e$ ist dies positiv. Somit ist ${}g(x)$ unterhalb von ${}e$ streng fallend und oberhalb von ${}e$ streng wachsend und das Minimum liegt in ${}e$ mit dem Wert ${}0$ vor. Der Wert ${}0$ wird also von ${}g$ und damit auch von ${}f$ nur einmal angenommen.

4. Wegen

   ${}f'(x)=e{\left(e^{x-1}-x^{e-1}\right)}\,$

   liegen bei ${}x=1$ und bei ${}x=e$ Nullstellen der Ableitung vor. Wegen

   ${}f^{\prime \prime }(e)>0\,$

   liegt in ${}e$ ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert ${}0$ vor, das auch ein globales Minimum ist, da der Wert ${}0$ nirgendwo sonst angenommen wird. Wegen

   ${}f^{\prime \prime }(1)=e-e(e-1)<0\,$

   liegt au der Stelle ${}1$ ein lokales isoliertes Maximum vor. Wir behaupten, dass die Ableitung keine weitere Nullstelle besitzt. Die Bedingung

   ${}e^{x-1}=x^{e-1}\,$

   führt auf ${}x-1=(e-1)\ln x$ bzw. auf

   ${}h(x)=x-1-(e-1)\ln x=0\,$

   mit den beiden bekannten Lösungen ${}1$ und ${}e$. Die Ableitung von ${}h$ ist ${}1-(e-1){\frac {1}{x}}$. Dies ist negativ für ${}x<e-1$ und positiv für ${}x>e-1$. Deshalb ist ${}h$ unterhalb von ${}e-1$ streng fallend und oberhalb davon streng wachsend und ${}h$ besitzt nur die beiden angegebenen Nullstellen. Für ${}x=0$ gibt es noch ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert ${}1$. Dies folgt daraus, dass es zwischen ${}0$ und ${}1$ keine weitere Nullstelle der Ableitung gibt.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Lösung

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Über dem kompakten Intervall ist die Funktion ${}f$ nach oben und nach unten beschränkt, es seien ${}m$ und ${}M$ das Minimum bzw. das Maximum der Funktion, die aufgrund von Satz 13.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) angenommen werden. Dann ist insbesondere ${}m\leq f(x)\leq M$ für alle ${}x\in [a,b]$ und

${}m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)\,.$

Daher ist ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=d(b-a)$ mit einem ${}d\in [m,M]$ und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)=d$.

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion

${}f(x)=x^{2}\,.$

1. Für welche reelle Zahl ${}c\geq 0$ ist der Flächeninhalt der durch die ${}x$-Achse, die Parabel und die durch ${}x=c$ bestimmte vertikale Gerade eingeschränkte Fläche gleich ${}17$? Skizziere die Situation.
2. Für welche reelle Zahl ${}d\geq 0$ ist der Flächeninhalt der durch die Parabel und die durch ${}y=d$ bestimmte horizontale Gerade eingeschränkte Fläche gleich ${}13$? Skizziere die Situation.

Lösung

1. Die Bedingung ist

   ${}\int _{0}^{c}x^{2}\,dx=17\,.$

   Dabei ist

   ${}\int _{0}^{c}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}x^{3}|_{0}^{c}={\frac {1}{3}}c^{3}\,.$

   Also ist

   ${}c={\sqrt[{3}]{51}}\,.$

2. Wenn der ${}y$-Wert bis ${}d$ läuft, so bewegt sich der ${}x$-Wert zwischen ${}-{\sqrt {d}}$ und ${}{\sqrt {d}}$. Daher lautet die Bedingung

   ${}2{\sqrt {d}}d-\int _{-{\sqrt {d}}}^{\sqrt {d}}x^{2}\,dx=13\,.$

   Hierbei ist

   ${}\int _{-{\sqrt {d}}}^{\sqrt {d}}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}x^{3}|_{-{\sqrt {d}}}^{\sqrt {d}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {d}}^{3}\,.$

   Die Bedingung wird daher zu

   ${}13=2{\sqrt {d}}d-{\frac {1}{3}}{\sqrt {d}}^{3}={\frac {5}{6}}{\sqrt {d}}^{3}\,.$

   Also ist

   ${}d={\sqrt[{3}]{\frac {78}{5}}}\,.$

   
   

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.

Lösung

Da ${}a(t)$ keine Nullstelle besitzt, kann man jede Funktion

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

als

${}y(t)=c(t)a(t)\,$

mit einer unbekannten (differenzierbaren) Funktion ${}c(t)$ ansetzen. Dabei ist (für eine differenzierbare Funktion ${}y$)

${}y'(t)=c'(t)a(t)+c(t)a'(t)\,.$

Daher kann man die Lösungsbedingung

${}y'(t)=g(t)y(t)+h(t)\,$

als

${}c'(t)a(t)+c(t)a'(t)=g(t)c(t)a(t)+h(t)\,$

schreiben, und diese gilt wegen ${}a'(t)=g(t)a(t)$ genau dann, wenn

${}c'(t)a(t)=h(t)\,$

bzw.

${}c'(t)={\frac {h(t)}{a(t)}}\,$

gilt. D.h. ${}c(t)$ muss eine Stammfunktion zu ${}{\frac {h(t)}{a(t)}}$ sein.