Kurs:Analysis/Teil I/44/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	3	2	6	4	7	5	2	3	2	2	4	2	3	3	6	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Relation zwischen den Mengen ${}X$ und ${}Y$.
2. Ein vollständig angeordneter Körper ${}K$.
3. Die Stetigkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
4. Die Supremumsnorm einer Funktion

   $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einer Menge ${}T$.

5. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe

   $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$

6. Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion

   $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.

Lösung

1. Eine Relation zwischen ${}X$ und ${}Y$ ist eine Teilmenge ${}R\subseteq X\times Y$.
2. Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ${}K$ konvergiert.
3. Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}a$ ist, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x$ mit ${}\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.
4. Man nennt

   ${}\Vert {f}\Vert :={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T)}\,$

   die Supremumsnorm von ${}f$.

5. Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man

   ${\operatorname {sup} \,(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}})}.$

6. Man nennt die Gleichung

   $y'=f(t,y)$

   gewöhnliche Differentialgleichung zu ${}f$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
2. Der Satz über die gleichmäßige Stetigkeit auf einem Intervall.
3. Die Quotientenregel für differenzierbare Abbildungen (für einen Punkt).

Lösung

1. Es sei ${}{\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.
2. Eine stetige Funktion

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall ist gleichmäßig stetig.
3. Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

   $f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   zwei Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien. Wenn ${}g$ keine Nullstelle in ${}D$ besitzt, so ist ${}f/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

   $(f/g)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}.$

Aufgabe (1 Punkt)

Formuliere die Kontraposition zu folgender Aussage von Professor Knopfloch: „Wenn Sie mein Schreiben vollständig gelesen und verstanden haben, dann antworten Sie mit Ihrer Uni-email“.

Lösung

Wenn Sie nicht mit Ihrer Uni-email antworten, dann haben Sie mein Schreiben nicht vollständig gelesen oder nicht verstanden.

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Fallunterscheidung.

Lösung Beweis durch Fallunterscheidung/Erläuterung/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}A,B,C$ Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

1. ${}A\subseteq B\cup C$.
2. ${}A\setminus B\subseteq C$.
3. ${}A\setminus C\subseteq B$.

Lösung

Von (1) nach (2). Es gelte also ${}A\subseteq B\cup C$ und es ist ${}A\setminus B\subseteq C$ zu zeigen. Es sei also ${}x\in A\setminus B$. Das bedeutet ${}x\in A$ und ${}x\notin B$. Nach Voraussetzung (1) gilt wegen ${}x\in A$ auch ${}x\in B\cup C$ und wegen ${}x\notin B$ gilt ${}x\in C$.

Von (2) nach (1). Es gelte also ${}A\setminus B\subseteq C$ und es ist ${}A\subseteq B\cup C$ zu zeigen. Es sei also ${}x\in A$. Wir machen eine Fallunterscheidung. Bei ${}x\in B$ ist auch ${}x\in B\cup C$. Bei ${}x\notin B$ gilt wegen ${}x\in A$ zunächst ${}x\in A\setminus B$ und daher wegen der Voraussetzung ${}A\setminus B\subseteq C$ auch ${}x\in C$, also wieder ${}x\in B\cup C$.

Die Äquivalenz von (1) und (3) ergibt sich genauso mit vertauschten Rollen von ${}B$ und ${}C$.

Aufgabe (2 Punkte)

Eine Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das aus ${}a\cdot b$ rechteckigen Teilstücken besteht (${}a$ beziehe sich auf die Länge). Die Teilstücke sind durch Längsrillen und durch Querrillen voneinander abgetrennt. Der Abstand der Längsrillen sei ${}c$ und der Abstand der Querrillen sei ${}d$. Was ist der Flächeninhalt der Schokolade? Wie lang ist die Gesamtrille?

Lösung

Die Länge der Schokolade ist ${}ad$ und die Höhe ist ${}bc$, deshalb ist der Flächeninhalt der Schokolade gleich ${}abcd$.

Es gibt ${}b-1$ Längsrillen, die jeweils die Länge ${}ad$ haben, und es gibt ${}a-1$ Querrillen, die jeweils die Länge ${}bc$ haben. Die gesamte Länge der Rillen ist daher

${}(b-1)ad+(a-1)bc=ab(d+c)-ad-bc\,.$

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Wir betrachten eine Rekursionsvorschrift, die zu einen Zahlendreieck (analog zum Pascalschen Dreieck) führt. In der ersten Zeile steht zentral die ${}256$, links und rechts davon stehen unendlich viele ${}1$ (die nicht aufgeführt werden müssen). Die jeweils nächste Zeile entsteht, indem man von zwei benachbarten Zahlen der Vorgängerzeile das geometrische Mittel nimmt und das Ergebnis darunter in der neuen Zeile platziert.

1. Bestimme die ersten Zeilen dieses Zahlendreiecks, bis sämtliche Einträge kleiner als ${}6$ sind.
2. Welche Eigenschaft gilt in jeder Zeile? Warum?

Lösung

1. Es ergibt sich das folgende Schema.

   ${\begin{matrix}&&&&&256&&&&&\\&&&&16&&16&&&&\\&&&4&&16&&4&&\\&&2&&8&&8&&2&&\\&{\sqrt {2}}&&4&&8&&4&&{\sqrt {2}}&\\2^{1/4}&&2\cdot 2^{1/4}&&4{\sqrt {2}}&&4{\sqrt {2}}&&2\cdot 2^{1/4}&&2^{1/4}\end{matrix}}$

   Wegen

   ${}(4{\sqrt {2}})^{2}=32\leq 6^{2}\,$

   sind wir fertig.

2. In jeder Zeile ist das Produkt über alle Zahlen gleich ${}256$. Dies beweist man durch Induktion über den Zeilenindex. In der Startzeile ist das richtig (die nicht hingeschriebenen Zahlen sind ${}1$). Es sei also das Produkt der Zahlen in einer Zeile gleich ${}256$. Jede Zahl dieser Zeile geht zweifach in die folgende Zeile ein, einmal als Beitrag zum geometrischen Mittel mit der linken Zahl und einmal als Beitrag zum geometrischen Mittel mit der rechten Zahl. Dabei geht wegen ${}{\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}$ jeweils die Quadratwurzel ein. Das Gesamtprodukt bleibt dabei erhalten.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a<b$ rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung

$[0,1]\longrightarrow [a,b]$

gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.

Lösung

Wir definieren die Abbildung ${}\varphi \colon K\rightarrow K$ durch

${}\varphi (x):={\left(b-a\right)}x+a\,.$

Da es sich bis auf die Verschiebung um ${}a$ um eine lineare Funktion mit einem positiven Proportionalitätsfaktor handelt, ist sie nach Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (1) streng wachsend und auch bijektiv. Es ist offenbar ${}\varphi (0)=a$ und ${}\varphi (1)=b$. Somit ist

${}\varphi ([0,1])\subseteq [a,b]\,$

und die Abbildung lässt sich auf die Intervalle zu einer bijektiven Abbildung einschränken. Für eine rationale Zahl ${}x={\frac {r}{s}}\in [0,1]$ ist

${}\varphi (x)=\varphi {\left({\frac {r}{s}}\right)}=(b-a){\frac {r}{s}}+a\,$

wegen der Rationalität von ${}a$ und ${}b$ wieder rational.

Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

1. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, ${}y_{n}\neq 0$, derart, dass ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen ${}1$ konvergiert, aber ${}x_{n}-y_{n}$ nicht konvergiert.
2. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, ${}y_{n}\neq 0$, derart, dass ${}x_{n}-y_{n}$ gegen ${}0$ konvergiert, aber ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ nicht konvergiert.
3. Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen derart, dass ${}x_{n}-y_{n}$ gegen ${}0$ konvergiert. Es gebe ein ${}a>0$ mit

   ${}y_{n}\geq a\,$

   für alle ${}n$. Zeige, dass ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen ${}1$ konvergiert.

Lösung

1. Es sei

   ${}x_{n}=n^{2}+n\,$

   und

   ${}y_{n}=n^{2}\,$

   für ${}n\geq 1$. Dann ist

   ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {n^{2}+n}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{n}}\,.$

   Dies konvergiert gegen ${}1$. Die Differenzfolge

   ${}x_{n}-y_{n}=n^{2}+n-n^{2}=n\,$

   konvergiert nicht.

2. Es sei

   ${}x_{n}={\frac {1}{n}}\,$

   und

   ${}y_{n}={\frac {1}{n^{2}}}\,.$

   Dann ist

   ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\frac {1}{n}}{\frac {1}{n^{2}}}}={\frac {n^{2}}{n}}=n\,.$

   Dies konvergiert nicht. Die Differenzfolge

   ${}x_{n}-y_{n}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n^{2}}}\,$

   konvergiert gegen ${}0$, da beide Folgen Nullfolgen sind.

3. Wir schreiben

   ${}x_{n}=y_{n}+z_{n}\,,$

   wobei ${}z_{n}$ nach Voraussetzung eine Nullfolge ist. Damit ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}&={\frac {y_{n}+z_{n}}{y_{n}}}\\&=1+{\frac {z_{n}}{y_{n}}}.\end{aligned}}$

   Dabei ist

   ${}\vert {\frac {z_{n}}{y_{n}}}\vert =\vert {z_{n}}\vert \cdot \vert {\frac {1}{y_{n}}}\vert \leq \vert {z_{n}}\vert \cdot \vert {\frac {1}{a}}\vert \,$

   eine Nullfolge. Somit konvergiert die Quotientenfolge gegen ${}1$.

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

1. Es sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom über einem Körper ${}K$ der Form

   ${}F=aX^{n}\,$

   mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}a\neq 0$. Zeige, dass ${}F$ die ${}0$ als einzige Nullstelle besitzt.

2. Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige komplexe Nullstelle von ${}F$ ist. Zeige, dass ${}F$ die Form

   ${}F=aX^{n}\,$

   mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}a\neq 0$ hat.

3. Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom ${}F\in \mathbb {R} [X]$ mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige reelle Nullstelle von ${}F$ ist, dass ${}F$ aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.

Lösung

1. Die angegebenen Polynome haben die gewünschte Eigenschaft über jedem Körper nach [[Körper/Integritätsbereich/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]. Aus ${}ax^{n}=0$ folgt zunächst ${}x^{n}=0$ und daraus ${}x=0$.
2. Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom mit der angegebenen Nullstelleneigenschaft. Wenn ${}F$ konstant ist, so besitzt ${}F$ bei ${}F=0$ jedes Element als Nullstelle und bei ${}F=c\neq 0$ überhaupt keine Nullstelle. Der Grad von ${}F$ muss also zumindest ${}1$ sein. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt ${}F$ eine Faktorzerlegung

   ${}F=a(X-b_{1})\cdots (X-b_{n})\,$

   mit ${}a,b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathbb {C} },\,a\neq 0$. Die ${}b_{i}$ sind die Nullstellen von ${}F$. Da diese alle ${}0$ sein sollen, ist

   ${}F=aX^{n}\,.$

3. Wir betrachten

   ${}F=X^{3}+X=X{\left(X^{2}+1\right)}\,,$

   das nicht die Form aus Teil (1) besitzt. Eine Nullstelle dieses Polynoms ist die Nullstelle eines Faktors. Das Polynom ${}X^{2}+1$ ist reell immer positiv und somit nullstellenfrei, also ist ${}0$ die einzige Nullstelle von ${}F$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}x\in K$ ein Element mit ${}x\neq 1$. Beweise für ${}n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung

${}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$

Lösung

Für ${}n=0$ steht beidseitig ${}1$. Es sei die Gleichung für ein bestimmtes ${}n$ bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n+1}x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}x^{k}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+1}(x-1)}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+2}-x^{n+1}}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+2}-1}{x-1}},\end{aligned}}$

was die Behauptung für ${}n+1$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise, dass eine absolut konvergente Reihe komplexer Zahlen konvergiert.

Lösung

Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium an. Aufgrund der absoluten Konvergenz gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq m\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert =\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Daher ist

${}\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert \leq \epsilon \,,$

was die Konvergenz bedeutet.

Aufgabe (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Fünffache ihrer zweiten Potenz, gleich der siebten Wurzel von ${}17$ ist?

Lösung

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

${}f(x)=x^{3}-5x^{2}={\sqrt[{7}]{17}}\,.$

Es ist ${}f(0)=0$ und ${}f(6)=(6-5)25=25$ und ${}0\leq {\sqrt[{7}]{17}}\leq 25$. Da ${}f$ als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein ${}x\in \mathbb {R}$ mit ${}f(x)={\sqrt[{7}]{17}}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion

${}f(x)=x^{2}-3x+{\frac {4}{3}}\,.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}f(x)&=x^{2}-3x+{\frac {4}{3}}\\&={\left(x-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {9}{4}}+{\frac {4}{3}}\\&={\left(x-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}+{\frac {-27+16}{12}}\\&={\left(x-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {11}{12}}.\end{aligned}}$

Da der quadratische Term links stets ${}\geq 0$ ist, ist ${}-{\frac {11}{12}}$ der minimale Wert der Funktion.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Lösung

Wir betrachten die Hilfsfunktion

$g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).$

Diese Funktion ist ebenfalls stetig und in ${}]a,b[$ differenzierbar. Ferner ist ${}g(a)=f(a)$ und

${}g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)\,.$

Daher erfüllt ${}g$ die Voraussetzungen von Satz 19.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und somit gibt es ein ${}c\in {]a,b[}$ mit ${}g'(c)=0$. Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also

${}f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

${}f(x)={\frac {e^{x}-\cos x}{x^{2}+5x-6}}\,$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {{\left(e^{x}-\cos x\right)}'{\left(x^{2}+5x-6\right)}-{\left(e^{x}-\cos x\right)}{\left(x^{2}+5x-6\right)}'}{{\left(x^{2}+5x-6\right)}^{2}}}\\&={\frac {{\left(e^{x}+\sin x\right)}{\left(x^{2}+5x-6\right)}-{\left(e^{x}-\cos x\right)}{\left(2x+5\right)}}{x^{4}+10x^{3}+13x^{2}-60x+36}}\\&={\frac {x^{2}e^{x}+5xe^{x}-6e^{x}+x^{2}\sin x+5x\sin x-6\sin x-2xe^{x}-5e^{x}+2x\cos x+5\cos x}{x^{4}+10x^{3}+13x^{2}-60x+36}}\\&={\frac {x^{2}e^{x}+3xe^{x}-11e^{x}+x^{2}\sin x+5x\sin x-6\sin x+2x\cos x+5\cos x}{x^{4}+10x^{3}+13x^{2}-60x+36}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=xe^{x}.$

Zeige durch Induktion, dass die ${}n$-te Ableitung ($n\geq 1$) von ${}f$ gleich

${}f^{(n)}(x)={\left(x+n\right)}e^{x}\,$

ist.

Lösung

Die Aussage ist für ${}n=0$ richtig. Als Induktionsvoraussetzung können wir

${}f^{(n)}=(x+n)e^{x}\,$

annehmen. Dann ist

${}{\begin{aligned}f^{(n+1)}&=(f^{(n)})'\\&=((x+n)e^{x})'\\&=(x+n)(e^{x})'+1e^{x}\\&=(x+n)e^{x}+1e^{x}\\&=(x+n+1)e^{x},\end{aligned}}$

was die Aussage für ${}n+1$ bedeutet.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

${}f(x)=x^{2}+2x-3\,.$

Bestimme den Flächeninhalt des durch die ${}x$-Achse und den Graphen von ${}f$ eingeschränkten Gebietes.

Lösung

Die Nullstellen von ${}x^{2}+2x-3$ sind

${}x_{1,2}=-3,1\,.$

Im Intervall ${}[-3,1]$ ist ${}f$ negativ, sonst überall positiv. Der gesuchte Flächeninhalt ist deshalb der Betrag des bestimmten Integrals

${}{\begin{aligned}\int _{-3}^{1}x^{2}+2x-3\,dx&=\left({\frac {1}{3}}x^{3}+x^{2}-3x\right)|_{-3}^{1}\\&=-{\frac {5}{3}}-(-9+9+9)\\&=-{\frac {32}{3}},\end{aligned}}$

also gleich ${}{\frac {32}{3}}$.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.

Lösung

Da ${}h$ stetig ist und keine Nullstelle besitzt, ist ${}h$ bzw. ${}{\frac {1}{h}}$ nach dem Zwischenwertsatz entweder stets positiv oder stets negativ, so dass ${}H$ nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) streng monoton und daher nach Aufgabe 2.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) injektiv (also bijektiv auf sein Bild) ist.

Sei ${}y(t)=H^{-1}(G(t))$ wie angegeben. Dann ist

${}{\begin{aligned}y'(t)&={\frac {G'(t)}{H'{\left(H^{-1}(G(t))\right)}}}\\&={\frac {g(t)}{{\frac {1}{h}}{\left(H^{-1}(G(t))\right)}}}\\&=g(t)\cdot h{\left(H^{-1}(G(t))\right)}\\&=g(t)\cdot h(y(t)),\end{aligned}}$

so dass in der Tat eine Lösung vorliegt.

Es sei nun ${}y(t)$ eine differenzierbare Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt. Daraus folgt

${}\int _{t_{1}}^{t_{2}}g(t)\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {y'(t)}{h(y(t))}}\,dt=\int _{y(t_{1})}^{y(t_{2})}{\frac {1}{h(z)}}\,dz\,,$

wobei wir die Substitution ${}z=y(t)$ angewendet haben. Für die zugehörigen Stammfunktionen (mit den unteren Integralgrenzen ${}t_{1}$ bzw. ${}y(t_{1})$) bedeutet dies ${}G(t)=H(y(t))$, also ist ${}y(t)=H^{-1}(G(t))$.