Kurs:Analysis/Teil I/47/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 3 2 3 5 5 4 4 4 2 2 1 5 4 3 7 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Binomialkoeffizient .
  2. Der Betrag einer komplexen Zahl .
  3. Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion .
  4. Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl .
  5. Die -fache Differenzierbarkeit einer Funktion
  6. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .


Lösung

  1. Der Binomialkoeffizient ist durch

    definiert.

  2. Der Betrag einer komplexen Zahl ist durch

    definiert.

  3. Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung

    gilt.

  4. Die Exponentialreihe in ist die Reihe
  5. Man sagt, dass -mal differenzierbar ist, wenn -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung differenzierbar ist.
  6. Eine Funktion

    heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

    von gibt derart, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die allgemeine binomische Formel für .
  2. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt

    .
  3. Das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.


Lösung

  1. Für in einem Körper gilt
  2. Die Stetigkeit von im Punkt ist äquivalent dazu, dass für jede Folge , die gegen konvergiert, die Bildfolge gegen konvergiert.
  3. Es sei

    eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit stetigen Funktionen

    und

    wobei keine Nullstelle besitze. Es sei eine Stammfunktion von und eine Stammfunktion von . Weiter sei ein Teilintervall mit . Dann ist eine bijektive Funktion auf sein Bild und die Lösungen dieser Differentialgleichung haben die Form


Aufgabe (3 Punkte)

Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch „Extremfälle“ berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.


Lösung Mathematik/Extremfälle/Erläuterung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Lösung

Es sei . Das bedeutet und . Dies wiederum bedeutet oder . Somit ist insgesamt .

Es sei nun umgekehrt . Bei ist und und somit ist insbesondere . Ist hingegen , so ist bei die Zugehörigkeit zur linken Menge schon erwiesen. Also müssen wir nur noch den Fall betrachten. In diesem Fall ist und somit ist ebenfalls .


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

  1. Finde eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung
  2. Zeige, dass

    eine Lösung für die Gleichung

    ist.


Lösung

  1. ist eine ganzzahlige Lösung.
  2. Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von ) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.


Lösung

Die maximale Anzahl der Schnittpunkte ist . Dies beweisen wir durch Induktion über . Bei keiner oder einer Geraden gibt es keinen Schnittpunkt, die Formel ist also richtig, und dies sichert den Induktionsanfang. Es sei die Aussage nun für Geraden bewiesen, und es komme eine neue Gerade hinzu. Diese neue Gerade hat mit jeder der vorgegebenen Geraden höchstens einen Schnittpunkt. Wenn die neue Gerade einen Richtungsvektor besitzt, der von allen Richtungsvektoren der Geraden verschieden ist, so besitzt die neue Gerade mit jeder alten Geraden einen Schnittpunkt. Da es unendlich viele Richtungsvektoren gibt, kann man stets eine neue Richtung für die neue Gerade wählen. Indem man die neue Gerade parallel verschiebt, kann man auch erreichen, dass die neuen Schnittpunkte von den alten Schnittpunkten verschieden sind. Es kann also erreicht werden, dass genau Schnittpunkte hinzukommen. Wenn die Geraden die maximale mögliche Anzahl von Schnittpunkten haben, so hat die neue Geradenkonfiguration genau

Schnittpunkte (und wenn die Geraden weniger als Schnittpunkte haben, so hat auch die neue Geradenkonfiguration weniger als Schnittpunkte), was den Induktionsschritt beweist.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.


Lösung

Wir führen Induktion nach . Für steht einerseits und andererseits . Es sei die Aussage bereits für bewiesen. Dann ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die ganzzahligen Lösungen der Ungleichung


Lösung

Es ist

Bei positivem führt die Bedingung

auf

bzw.

Dies ist für

erfüllt. Für negatives schreiben wir

mit positiv. Die Bedingung

bedeutet dann

und ist für jedes (positive) erfüllt, da links eine positive rationale Zahl steht. Insgesamt ist die Ungleichung also für alle ganzen Zahlen erfüllt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Sei vorgegeben. Die konvergente Folge ist nach Lemma 5.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) insbesondere beschränkt und daher existiert ein mit für alle . Sei und . Wir setzen . Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen und mit

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle . Für diese Zahlen gilt daher


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine reelle Reihe mit für alle . Die Folge der Quotienten

konvergiere gegen eine reelle Zahl mit . Zeige unter Verwendung des Quotientenkriteriums, dass die Reihe konvergiert.


Lösung

Wegen ist

positiv. Wir setzen und damit ist

Wegen der Konvergenz der Quotientenfolge gibt es ein derart, dass

für alle gilt. Mit

gilt somit

für alle . Daher kann man auf die Reihe das Quotientenkriterium anwenden und damit auf Konvergenz schließen.


Aufgabe (2 Punkte)

Ene und Odo wissen beide über eine reelle Zahl , dass sie zwischen und liegt. Ene weiß, dass die Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) von die Form

besitzt, Odo weiß, dass die Ziffernentwicklung die Form

( bedeutet, dass keine Information über diese Stelle vorhanden ist). Wer weiß mehr über die Zahl?


Lösung Reelle Zahl/Dezimalentwicklung/Ziffern/Information/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe mit für alle geraden Indizes eine ungerade Funktion darstellt.


Lösung

Nach Voraussetzung besitzt die Potenzreihe die Gestalt

Daher ist

Die Funktion ist also ungerade.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Sinusfunktion.


Lösung Reelle Sinusfunktion/Skizziere/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein reelles Intervall,

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Wenn ist, so besitzt in ein isoliertes lokales Minimum.
  2. Wenn ist, so besitzt in ein isoliertes lokales Maximum.


Lösung

Wir beweisen die erste Aussage, die zweite kann man darauf zurückführen, indem man das Negative der Funktion betrachtet. Wegen der zweifachen stetigen Differenzierbarkeit und

gibt es ein derart, dass die zweite Ableitung auf dem Intervall positiv ist. Nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist dann auf diesem Intervall streng wachsend. Wir behaupten, dass in ein isoliertes lokales Minimum besitzt, und zwar dass

für alle , , gilt. Nehmen wir an, dass dies nicht stimmt, und sei ein Element mit

(das Argument bei verläuft genauso). Dann gibt es mit dem Mittelwertsatz ein mit

und mit

Doch dies widerspricht wegen der strengen Monotonie der Ableitung.


Aufgabe (4 (1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Exponentialfunktion auf einem Intervall der Form .

  1. Bestimme den Mittelwert (Durchschnittswert) der Exponentialfunktion auf .
  2. Bestimme den Punkt , in dem die Exponentialfunktion den Durchschnittswert annimmt.
  3. Was fällt auf?


Lösung

  1. Da das Intervall die Länge besitzt, ist der Durchschnittswert gleich
  2. Es ist das (wegen der strengen Monotonie eindeutige) gesucht mit . Logarithmieren ergibt
  3. Der Punkt hat immer den gleichen Abstand zu , nämlich .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von


Lösung

Man kann für jeden Summanden einzeln direkt eine Stammfunktion angeben, insgesamt ist

eine Stammfunktion.


Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

Die sogenannten Bernoulli-Polynome für sind Polynome vom Grad , die rekursiv definiert werden: ist das konstante Polynom mit dem Wert . Das Polynom berechnet sich aus dem Polynom über die beiden Bedingungen: ist eine Stammfunktion von und es ist

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne .


Lösung

  1. Die Stammfunktionen von sind mit einer Konstanten . Die Bedingung

    führt auf

    und daher

  2. Die Stammfunktionen von sind mit einer Konstanten . Die Bedingung
    führt auf

    und daher

  3. Die Stammfunktionen von sind mit einer Konstanten . Die Bedingung
    führt auf

    und daher


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das Anfangswertproblem

mit zwei verschiedene Lösungen auf besitzt. Warum kann man hier den Lösungssatz für zeitunabhängige Differentialgleichungen nicht anwenden?


Lösung

Es gibt die stationäre Lösung

und auch die Lösung

Deren Ableitung ist ja und die rechte Seite ergibt ebenfalls

Hier kann man Korollar 30.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) nicht anwenden, da das Vektorfeld eine Nullstelle hat und dort die konstante Lösung nicht die einzige Lösung sein muss.