Kurs:Analysis/Teil II/4/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	4	6	6	8	5	3	4	7	4	8	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Funktionalgleichung der Fakultätsfunktion ${}\operatorname {Fak} \,(x)$ für ${}x>0$.

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}M,N\subseteq \mathbb {R}$ Teilmengen und ${}M\times N\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ihre Produktmenge.

1. Zeige, dass ${}M\times N$ genau dann offen in ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist, wenn ${}M$ und ${}N$ offen sind.
2. Zeige, dass ${}M\times N$ genau dann abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist, wenn ${}M$ und ${}N$ abgeschlossen sind.

Aufgabe * (6 (1+5) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum und es seien

$f,g\colon M\longrightarrow M$

starke Kontraktionen.

a) Zeige, das die Verknüpfung ${}g\circ f$ ebenfalls eine starke Kontraktion ist.

b) Zeige durch ein Beispiel mit endlichem ${}M$, dass der Fixpunkt von ${}g\circ f$ weder mit dem Fixpunkt zu ${}f$ noch mit dem Fixpunkt zu ${}g$ übereinstimmen muss.

Aufgabe * (8 (2+4+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

$f\colon [0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,\sin t).$

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge ${}L$ dieser Kurve die Abschätzung

${}L\leq {\sqrt {2}}\pi \,$

gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

${}y^{\prime \prime }+e^{t}y'+ty=t^{2}+3\,$

mit den Anfangsbedingungen ${}y(0)=2$ und ${}y'(0)=5$ durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und

$\varphi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }^{m}$

eine in ${}P\in {\mathbb {C} }$ total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ auch aufgefasst als Abbildung von ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2n}$ nach ${}\mathbb {R} ^{2m}$ in ${}P$ total differenzierbar ist.

Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$(x,y)\mapsto \varphi (x,y)=x^{y}.$

1. Was ist der Definitionsbereich ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ dieser Abbildung?
2. Berechne die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}P\in G$.
3. Ist die Funktion total differenzierbar?

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Bestimmung von Extrema mit der Hesse-Matrix.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die Menge der regulären Punkte von ${}\varphi$ offen ist.

Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion.

a) Zeige, dass ${}g$ in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion

$y\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y,$

auf den Graphen

${}\Gamma ={\left\{(x,y)\mid y=g(x)\right\}}\,$

im Punkt ${}(a,g(a))$ ein lokales Maximum besitzt.

b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung?

c) Man gebe ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen

$f,h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

und einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ derart, dass ${}\left(Df\right)_{P}$ und ${}\left(Dh\right)_{P}$ linear abhängig sind und dass ${}h$ auf der Faser zu ${}f$ durch ${}P$ kein lokales Extremum besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem

${}v'=\operatorname {Grad} \,h(v)\,$

mit ${}v(0)=w$ ($w\in \mathbb {R} ^{2}$) zum Gradientenfeld zur Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$