Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 30

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestätige die in Beispiel 30.6, Beispiel 30.7 und Lemma 30.8 gefundenen Lösungskurven der Differentialgleichungen

$y'={\frac {1}{y}},\,y'=ty^{3}{\text{ und }}y'=-ty^{3}$

durch Ableiten.

Aufgabe

Interpretiere eine ortsunabhängige Differentialgleichung als eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen anhand des Lösungsansatzes für getrennte Variablen.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

${}y'=y\,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Erhält man dabei alle Lösungen?

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

$y'=e^{y},$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

$y'={\frac {1}{\sin y}},$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe

Löse die Differentialgleichung

${}y'=ty\,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe *

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

$y'={\frac {t}{t^{2}-1}}y^{2}$

mit ${}t>1$ und ${}y<0$.

Aufgabe *

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung (${}y>0$)

$y'=t^{2}y^{3}$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?

Aufgabe *

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

$y'={\frac {t^{3}}{y^{2}}},\,y>0,\,t>0,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

b) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

$y'={\frac {t^{3}}{y^{2}}}{\text{ mit }}y(1)=1.$

Aufgabe

Betrachte die in Beispiel 30.9 gefundenen Lösungen

${}y(t)={\frac {g}{1+\exp(-st)}}\,$

der logistischen Differentialgleichung.

a) Skizziere diese Funktion (für geeignete ${}s$ und ${}g$).

b) Bestimme die Grenzwerte für ${}t\rightarrow \infty$ und ${}t\rightarrow -\infty$.

c) Studiere das Monotonieverhalten dieser Funktionen.

d) Für welche ${}t$ besitzt die Ableitung von ${}y(t)$ ein Maximum (für die Funktion selbst bedeutet dies einen Wendepunkt, man spricht auch von einem Vitalitätsknick).

e) Über welche Symmetrien verfügen diese Funktionen?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass eine Differentialgleichung der Form

${}y'=g(t)\cdot y^{2}\,$

mit einer stetigen Funktion

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

auf einem Intervall ${}I'$ die Lösungen

${}y(t)=-{\frac {1}{G(t)}}\,$

besitzt, wobei ${}G$ eine Stammfunktion zu ${}g$ mit ${}G(I')\subseteq \mathbb {R} _{+}$ sei.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

$y'=ty^{2},\,y>0,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

$y'=t^{3}y^{3},\,y>0,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

$y'={\left(\sin t-2t\right)}{\left(y^{2}+1\right)},\,y>0,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Welche Lösung hat das Anfangswertproblem ${}y(0)=\pi$?

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

${}y'=ty+t\,$

mit

a) dem Lösungsansatz für inhomogene lineare Differentialgleichungen,

b) dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.