Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 88/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Aufgabe 88.1 ändern

Es sei ${}M$ eine berandete Mannigfaltigkeit und ${}\partial M$ sei der Rand. Zeige, dass der topologische Rand von ${}M\setminus \partial M$ gleich ${}\partial M$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Träger der folgenden Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$.

1. Eine Polynomfunktion.
2. Die Sinusfunktion.
3. Die Exponentialfunktion.
4. Die Indikatorfunktion ${}e_{\mathbb {Z} }$.
5. Die Indikatorfunktion ${}e_{\mathbb {Q} }$.
6. Die Indikatorfunktion ${}e_{[a,b]}$.
7. Die Indikatorfunktion ${}e_{]a,b[}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Zeige, dass der Abschluss von ${}T$ gleich dem Träger der Indikatorfunktion ${}e_{T}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ an.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für den ${}\mathbb {R} ^{d}$ an.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Bestimme zur Überdeckung von ${}X$ durch ${}X$ eine untergeordnete Partition der Eins.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Wir betrachten die Familie der Indikatorfunktionen

$e_{P},P\in X.$

Welche Eigenschaften einer (dieser Überdeckung) untergeordneten Partition der Eins erfüllt diese Familie?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die kompakte Ausschöpfung ${}A_{n}=[-n,n]$, ${}n\in \mathbb {N}$, der reellen Zahlen und die offene Überdeckung ${}W_{n}=A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}$, ${}n\in \mathbb {N}$, (es sei ${}A_{-1}=\emptyset$). Finde eine Überdeckung von ${}\mathbb {R}$ mit offenen Intervallen, die die Eigenschaften aus Lemma 88.8 (und seinem Beweis) erfüllt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Stifte eine Homöomorphie zwischen der abgeschlossenen Kreisscheibe und dem abgeschlossenen Quadrat.

Aufgabe Aufgabe 88.10 ändern

Es sei ${}V\subseteq H$ eine offene Menge im Halbraum ${}H\subset \mathbb {R} ^{n}$ und sei

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass es eine offene Menge ${}{\tilde {V}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und eine stetig differenzierbare Funktion

${\tilde {f}}\colon {\tilde {V}}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}{\tilde {V}}\cap H=V$ und ${}{\tilde {f}}{|}_{\tilde {V}}=f$ gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine kompakte Ausschöpfung eines topologischen Raumes ${}X$. Zeige, dass die Beziehung

$A_{n+1}\setminus A_{n}^{o}\subseteq A_{n+2}^{o}\setminus A_{n-1}$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe zur offenen Überdeckung

${}\mathbb {R} =\bigcup _{n\in \mathbb {Z} }]n,n+3[\,$

eine untergeordnete stetige Partition der Eins an.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die kompakte Ausschöpfung

$A_{n}=B\left(0,n\right),n\in \mathbb {N} ,$

des ${}\mathbb {R} ^{2}$ und die offene Überdeckung

$W_{n}=A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1},n\in \mathbb {N} ,$

(es sei ${}A_{-1}=\emptyset$). Finde eine Überdeckung des ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit offenen Kreisscheiben, die die Eigenschaften aus Lemma 88.8 (und seinem Beweis) erfüllt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für einen topologischen Raum, der keine kompakte Ausschöpfung besitzt.