Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 87

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Beschreibe diverse Kleidungsstücke als zweidimensionale Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Aufgabe

Zeige, dass sowohl das blaue als auch das rote Oberflächenstück einschließlich der Begrenzungslinie eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist. Was ist der Rand? Sind die beiden Mannigfaltigkeiten diffeomorph? Gibt es eine einfachere dazu diffeomorphe Mannigfaltigkeit?

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) und ${}N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand. Was kann man über das Produkt ${}M\times N$ sagen?

Aufgabe

Die abgeschlossene Kreisscheibe ${}B\left(0,1\right)$ trage die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{2}$. Läuft die durch die äußere Normale festgelegte Orientierung auf dem Rand (also auf dem Einheitskreis) mit dem oder gegen den Uhrzeigersinn?

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand. Unter einem differenzierbaren Halbweg verstehen wir jede differenzierbare Abbildung

$\gamma \colon [0,\epsilon [\longrightarrow M$

oder

$\gamma \colon ]-\epsilon ,0]\longrightarrow M$

(mit $\epsilon >0$. Sie heißen nach innen bzw. nach außen gerichtet). Definiere, wann zwei Halbwege mit ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P\in M$ tangential äquivalent sind, und zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation gegeben ist, und dass die Quotientenmenge ein reeller Vektorraum ist, der der Tangentialraum in ${}P$ heißt. Charakterisiere die Äquivalenzklassen, die sowohl nach innen als auch nach außen repräsentierbar sind.

Aufgabe *

Es sei ${}H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein euklidischer Halbraum und ${}P\in H$. Es gebe eine in ${}\mathbb {R} ^{n}$ offene Menge ${}V$ mit ${}P\in V\subseteq H$. Zeige, dass ${}P$ kein Randpunkt von ${}H$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}U_{1}\subseteq H_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ und ${}U_{2}\subseteq H_{2}\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen in euklidischen Halbräumen ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ und es sei

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

ein Diffeomorphismus. Zeige, dass es zu jedem Punkt ${}P\in U_{1}$ offene Umgebungen ${}P\in V_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ und ${}\varphi (P)\in V_{2}\subset \mathbb {R} ^{n}$ und eine diffeomorphe Fortsetzung

${\tilde {\varphi }}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe für den Kreisring

${}M={\left\{x\in \mathbb {R} ^{2}\mid 1\leq \Vert {x}\Vert \leq 2\right\}}\,$

explizit Karten an, die zeigen, dass ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Halbebene ${}\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R}$ und der Quadrant ${}\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}$ nicht diffeomorph sind.

(Was ist hierbei der geeignete Diffeomorphiebegriff?)

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}M=B\left(0,1\right)\setminus \{(0,1),(0,-1)\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, also die abgeschlossene Kreisscheibe, aus der man zwei Randpunkte herausgenommen hat. Es sei ${}N={]{-1},1[}\times [-1,1]$ das Produkt eines offenen und eines abgeschlossenen Intervalls. Zeige, dass ${}M$ und ${}N$ diffeomorphe Mannigfaltigkeiten mit Rand sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}V_{1},V_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen und es sei

$\varphi \colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

ein Diffeomorphismus, der eine Homöomorphie zwischen ${}V_{1}\cap H$ und ${}V_{2}\cap H$ induziert und damit auch zwischen ${}V_{1}\cap \partial H$ und ${}V_{2}\cap \partial H$ (${}H$ bezeichnet den Halbraum und ${}\partial H$ seinen Rand). Zeige, dass die Einschränkung auf den Rand ebenfalls ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Die abgeschlossene Einheitskugel ${}B\left(0,1\right)$ trage die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{3}$. Bestimme, ob die beiden Tangentenvektoren ${}(2,1,0)$ und ${}(3,-1,0)$ am Nordpol ${}(0,0,1)$ die durch die äußere Normale induzierte Orientierung auf dem Rand (also auf der Einheitssphäre) repräsentieren oder nicht?