Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 86
- Aufwärmaufgaben
Berechne die äußere Ableitung der Differentialform
auf dem .
Es sei
die durch
gegeben ist.
a) Berechne die äußere Ableitung von .
b) Berechne die äußere Ableitung von .
Zeige, dass die - Differentialform auf dem geschlossen und auch exakt ist.
Es sei eine differenzierbare Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit und eine auf der Mannigfaltigkeit definierte differenzierbare Abbildung.
- Es sei exakt. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform exakt ist.
- Es sei geschlossen. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform geschlossen ist.
Es sei eine offene Teilmenge und eine stetig differenzierbare - Form auf mit dem gemäß Lemma 84.3 zugehörigen Vektorfeld auf . Zeige, dass genau dann geschlossen ist, wenn die Integrabilitätsbedingung erfüllt.
Es sei eine offene Teilmenge und eine stetig differenzierbare - Form auf mit dem gemäß Lemma 84.3 zugehörigen Vektorfeld auf . Zeige, dass genau dann exakt ist, wenn ein Gradientenfeld ist.
Es sei eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine differenzierbare - Form auf . Zeige, dass genau dann exakt ist, wenn für jeden stetig differenzierbaren Weg
das Wegintegral nur von und abhängt.
Welche der folgenden Funktionen
lassen sich differenzierbar in den Randpunkt fortsetzen.
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Es sei ein Halbraum. Es sei ein Punkt und , wobei eine offene Teilmenge des sei. Zeige, dass kein Randpunkt von ist.
Definiere die Begriffe Diffeomorphismus, totales Differential und höhere Ableitungen für Halbräume (bzw. offene Teilmengen davon).
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei offen und es seien Differentialformen auf , wobei eine - Differentialform sei. Finde und beweise eine Formel für
Aufgabe (5 Punkte)
Aufgabe (6 Punkte)
Zeige, dass die Halbebene und der Quadrant homöomorph sind.
Aufgabe (4 Punkte)
Begründe die einzelnen Gleichungen in der Gleichungskette im Beweis zu Lemma 86.2.
Gehe dabei folgendermaßen vor.
- Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile
[[/Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]
schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig). - Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort
{{:Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Begründungsfenster}}
ein.
- Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein.
- Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort
[[Ihr Benutzername/Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]
hinschreiben.
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