Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesung 71/latex
\setcounter{section}{71}
\zwischenueberschrift{Parameterabhängige Integrale}
Wie diskutieren nun, wie Integrale von einem Parameter abhängen, der sich in einem metrischen Raum bewegt. Dazu muss man in erster Linie das Verhalten bezüglich einer Folge verstehen, so dass man die Ergebnisse der letzten Vorlesung anwenden kann. Der folgende Stetigkeitssatz ist eine weitreichende Verallgemeinerung von Satz Anhang C.2.
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{,} $E$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\maabbeledisp {f} {E \times M} { \overline{ \R }
} {(t,x)} {f(t,x)
} {,} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann gibt es einerseits zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
die Funktion
\maabbeledisp {f(-,x)} {E} { \overline{ \R }
} {t} {f_x(t) = f(t,x)
} {,}
die man auf Stetigkeit untersuchen kann, und andererseits für jeden
\anfuehrung{Parameter}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Funktion
\maabbeledisp {f(t,-)} {M} { \overline{ \R }
} {x} {f_t(x) = f(t,x)
} {}
und dazu
\zusatzklammer {im Falle der
\definitionsverweis {Integrierbarkeit}{}{}} {} {}
das
\definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathl{\int_{ M } f_t \, d \mu}{.} Wir interessieren uns für die Abhängigkeit von diesem Integral vom Parameter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Um deutlich zu machen, dass über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {nicht über
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ t
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
integriert wird, schreiben wir manchmal
\mathl{\int_{ M } f_t \, d \mu
(x)}{} oder
\mathl{\int_{ M } f(t,x) \, d \mu
(x)}{,} wobei $x$ die Variable zu $M$ bezeichnet.
\inputfaktbeweis
{Parameterabhängiges Integral/Maßraum und metrischer Raum/Stetigkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{,} $E$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0
}
{ \in }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {E \times M} { \overline{ \R }
} {(t,x)} {f(t,x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{,}
die die folgenden Eigenschaften erfülle.}
\faktvoraussetzung {\aufzaehlungdrei{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Funktion
\mathl{x \mapsto f(t,x)}{} \definitionsverweis {messbar}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ist die Funktion
\mathl{t \mapsto f(t,x)}{}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
in $t_0$.
}{Es gibt eine
\definitionsverweis {nichtnegative}{}{} \definitionsverweis {messbare}{}{} \definitionsverweis {integrierbare Funktion}{}{}
\maabbdisp {h} {M} { \overline{ \R }
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(t,x) }
}
{ \leq} { h(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktfolgerung {Dann ist die Funktion
\maabbeledisp {\varphi} {E} { \R
} {t} {\varphi(t) = \int_{ M } f(t,x) \, d \mu
(x)
} {,}
wohldefiniert und stetig in $t_0$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Integrierbarkeit der einzelnen Funktionen
\mathl{x \mapsto f(t,x)}{} folgt aus
Lemma 69.5.
Wir müssen die Stetigkeit der Funktion
\mathl{t \mapsto \varphi(t) = \int_{ M } f(t,x) \, d \mu
(x)}{} in $t_0$ zeigen. Wir wenden
das Folgenkriterium für die Stetigkeit
an, sei also
\mathl{{ \left( s_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge in $E$, die gegen $t_0$ konvergiert. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n(x)
}
{ = }{ f(s_n,x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der zweiten Voraussetzung
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
die Folge
\mathl{{ \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N }}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegen
\mathl{f(t_0,x)}{.} Daher
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
die Funktionenfolge
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{ n \in \N }}{} punktweise gegen
\mathl{f(t_0,-)}{.} Wegen der dritten Bedingung kann man
den Satz von der majorisierten Konvergenz
anwenden und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \varphi(s_n)
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ M } f_n(x) \, d \mu
(x)
}
{ =} { \int_{ M } f(t_0,x) \, d \mu
(x)
}
{ =} { \varphi(t_0)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Parameterabhängiges Integral/Maßraum und reelles Intervall/Differenzierbarkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{,} $I$ ein nichtleeres
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I \times M} { \R
} {(t,x)} {f(t,x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{,}
die die folgenden Eigenschaften erfülle.}
\faktvoraussetzung {\aufzaehlungdrei{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Funktion
\mathl{x \mapsto f(t,x)}{} \definitionsverweis {integrierbar}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ist die Funktion
\mathl{t \mapsto f(t,x)}{}
\zusatzklammer {stetig} {} {}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
}{Es gibt eine
\definitionsverweis {nichtnegative}{}{}
\definitionsverweis {messbare}{}{} \definitionsverweis {integrierbare Funktion}{}{}
\maabbdisp {h} {M} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f'(t,x) }
}
{ \leq} { h(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktfolgerung {Dann ist die Funktion
\maabbeledisp {\varphi} {I} {\R
} {t} {\varphi (t) = \int_{ M } f(t,x) \, d \mu
(x)
} {,}
\zusatzklammer {stetig} {} {}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
in $t$, die Zuordnung
\mathl{x \mapsto f'(t,x)}{} ist
\definitionsverweis {integrierbar}{}{}
und es gilt die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi' (t)
}
{ =} { \int_{ M } f'(t,x) \, d \mu
(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der
\definitionsverweis {Differenzenquotient}{}{}
für $\varphi$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \neq }{ t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \varphi(s) - \varphi(t) }{ s-t } }
}
{ =} { { \frac{ \int_{ M } f(s,x) \, d \mu
(x) - \int_{ M } f(t,x) \, d \mu
(x) }{ s-t } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir müssen für jede Folge
\mathl{{ \left( s_n \right) }_{n \in \N }}{} in $I$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_n
}
{ \neq }{ t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die gegen $t$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
zeigen, dass die zugehörige Folge der Differenzenquotienten konvergiert. Nach
dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung
gibt es
\zusatzklammer {für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedes $n$} {} {}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { { \frac{ f(s_n,x) - f(t,x) }{ s_n-t } } }
}
{ =} { \betrag { f'(c,x) }
}
{ \leq} { h(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $h$ integrierbar ist, ist auch für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Differenzenquotient als Funktion in $x$ nach
Lemma 69.5
integrierbar. Dann ist unter Verwendung
der Linearität des Integrals
und
des Satzes von der majorisierten Konvergenz
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi' (t)
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ \varphi(s_n) - \varphi(t) }{ s_n-t } }
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ \int_{ M } f(s_n,x) \, d \mu
(x) - \int_{ M } f(t,x) \, d \mu
(x) }{ s_n-t } }
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ M } { \frac{ f(s_n,x) - f(t,x) }{ s_n-t } } \, d \mu
(x)
}
{ =} { \int_{ M } { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ f(s_n,x) - f(t,x) }{ s_n-t } } \right) } \, d \mu
(x)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \int_{ M } f'(t,x) \, d \mu
(x)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Die stetige Differenzierbarkeit folgt aus
Satz 71.1.
\inputfaktbeweis
{Parameterabhängiges Integral/Maßraum und offene Teilmenge/Partielle Differenzierbarkeit/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {f} {U \times M} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{,}
die die folgenden Eigenschaften erfülle.}
\faktvoraussetzung {\aufzaehlungdrei{Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Funktion
\maabbeledisp {} {M} {\R
} {x} {f(z,x)
} {,}
\definitionsverweis {integrierbar}{}{.}
}{Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Funktion
\maabbeledisp {} {U} {\R
} {z} {f(z,x)
} {,}
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{.}
}{Es gibt eine
\definitionsverweis {nichtnegative}{}{}
\definitionsverweis {integrierbare Funktion}{}{}
\maabbdisp {h} {M} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { { \frac{ \partial f }{ \partial z_i } } (z,x) } \Vert
}
{ \leq} { h(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktfolgerung {Dann ist die Funktion
\maabbeledisp {\varphi} {U} {\R
} {z} {\varphi(z) = \int_{ M } f(z,x) \, d \mu
(x)
} {,}
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{}
und es gilt für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial \varphi }{ \partial z_i } } (z)
}
{ =} { \int_{ M } { \frac{ \partial f }{ \partial z_i } } (z,x) \, d \mu
(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus
Satz 71.2,
indem man zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die lineare Kurve
\maabbeledisp {\psi} {I} {U
} {t} { P+te_i
} {,}
vorschaltet und
\mathl{f \circ ( \psi \times
\operatorname{Id}_{ M } )}{} betrachtet.
\zwischenueberschrift{Das Cavalieri-Prinzip}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Bonaventura_Cavalieri.jpeg} }
\end{center}
\bildtext {Bonaventura Cavalieri (1598-1647)} }
\bildlizenz { Bonaventura Cavalieri.jpeg } {} {Gene.arboit} {Commons} {PD} {}
Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {}
$\sigma$-\definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{} und
\mathl{T \subseteq M \times N}{} eine messbare Teilmenge. Für jeden Punkt
\mathl{x \in M}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T(x)
}
{ =} { { \left\{ y \in N \mid (x,y) \in T \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir erinnern an
Lemma 64.10,
nachdem diese Mengen messbar sind. In welcher Beziehung steht
\mathl{(\mu \otimes \nu)(T)}{} zur Funktion
\maabbeledisp {} {M} {\R
} {x} { \nu(T(x))
} {?}
Bei
\mathl{N=\R}{} und wenn $T$ der Subgraph zu einer nichtnegativen messbaren Funktion $f$ ist, so ist
\mathl{\lambda^1(T(x)) =f(x)}{} und nach der Definition des
\definitionsverweis {Integrals}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(\mu \otimes \lambda^1) (T)
}
{ =} { \int_{ M } f(x) \, d \mu
}
{ =} { \int_{ M } \lambda^1 (T(x)) \, d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Satz von Cavalieri besagt, dass die Gleichheit zwischen links und rechts für beliebige messbare Teilmengen $T$ gilt. Um diesen Satz überhaupt formulieren zu können, müssen wir zunächst sicherstellen, dass die Funktion
\mathl{x \mapsto \nu(T(x))}{} messbar ist.
\inputfaktbeweis
{Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Messbarkeit des Querschnittsmaßes/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {}
$\sigma$-\definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M \times N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die Funktionen
\maabbeledisp {} {M} { \overline{ \R }
} {x} { \nu ( T(x))
} {,} und \maabbeledisp {} {N} { \overline{ \R }
} {y} { \mu ( T(y))
} {,}
\definitionsverweis {messbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir zeigen die Messbarkeit der ersten Funktion
\mathl{x \mapsto \nu (T(x))}{.} \teilbeweis {}{}{}
{Dabei reduzieren wir zuerst auf die Situation in der das Maß $\nu$ auf $N$
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist. Nach Voraussetzung gibt es eine
\definitionsverweis {abzählbare}{}{}
\definitionsverweis {messbare}{}{}
\definitionsverweis {Ausschöpfung}{}{}
\mathl{N_n \uparrow N}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(N_n)
}
{ < }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_n
}
{ = }{ T \cap { \left( M \times N_n \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mathl{T_n \uparrow T}{} und damit auch
\mathl{T_n(x) \uparrow T(x)}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn wir für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Messbarkeit von
\mathl{x \mapsto \nu(T_n(x))}{} gezeigt haben, so folgt sie wegen
Lemma 68.4
auch für
\mathl{x \mapsto \nu(T(x)) = \lim_{n \rightarrow \infty} \nu(T_n(x))}{.}}
{\leerzeichen{}Wir können also annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(N)
}
{ < }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\teilbeweis {Wir wollen zeigen, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M \times N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Funktion
\mathl{x \mapsto \nu(T(x))}{} messbar ist.\leerzeichen{}}{Wie setzen
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ {\mathcal D }
}
{ =} { { \left\{ T \in {\mathcal A } \otimes {\mathcal B } \mid \text{Die Funktion } x \mapsto \nu(T(x)) \text{ ist messbar} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und müssen zeigen, dass dies die gesamte Produkt-$\sigma$-Algebra ist.\leerzeichen{}}{}
{Zunächst gehören die messbaren Quader
\mathl{A \times B}{} zu ${\mathcal D }$. Es ist ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (A \times B)(x)
}
{ =} { \begin{cases} B , \text{ falls } x \in A \\ \emptyset \text{ sonst}\, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nu (T(x))
}
{ =} { \nu(B) \cdot e_{ A }(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
messbar. \teilbeweis {Wir zeigen, dass ${\mathcal D }$ ein
\definitionsverweis {Dynkin-System}{}{}
ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M \times N
}
{ \in }{ {\mathcal D }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Teilmengen, die zu ${\mathcal D }$ gehören. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (T \setminus S)(x)
}
{ = }{ T(x) \setminus S(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu ( (T \setminus S)(x) )
}
{ = }{ \nu (T(x)) - \nu (S(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach
Lemma 68.3
messbar. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \biguplus_{i \in I} T_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T (x)
}
{ = }{ \biguplus_{i \in I} T_i(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_i
}
{ \in }{ {\mathcal D }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist die Funktion
\mathl{x \mapsto \nu(T(x))= \sum_{i \in I} \nu(T_i(x))}{} nach
Korollar 68.8
wieder messbar.}
{}
Damit ist insgesamt ${\mathcal D }$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem aller Quader für die
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mathl{{\mathcal A } \otimes {\mathcal B }}{} enthält. Deshalb ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal D }
}
{ = }{ {\mathcal A } \otimes {\mathcal B }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 61.11.}
{}
Wir werden im Folgenden die Notation
\mathl{\int_{ M } f(x) \, d \mu(x)}{} verwenden, die betont, dass die Funktion $f$ von
\mathl{x \in M}{} abhängt. Dies ist insbesondere dann sinnvoll, wenn es um einen Produktraum
\mathl{M \times N}{} geht und Verwechslungen möglich sind.
\inputfaktbeweis
{Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {}
$\sigma$-\definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für alle
\definitionsverweis {messbaren Teilmengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M \times N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \mu \otimes \nu)(T)
}
{ =} { \int_{ M } \nu(T(x)) \, d \mu
(x)
}
{ =} { \int_{ N } \mu(T(y)) \, d \nu(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {Wir zeigen zuerst, dass die Zuordnung
\maabbeledisp {} { {\mathcal A } \otimes {\mathcal B }} {\overline{ \R }
} {T} { \int_{ M } \nu(T(x)) \, d \mu
(x)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Maß}{}{}
auf der Produkt-$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Es sei dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \biguplus_{i \in I} T_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abzählbare Zerlegung}{}{}
in
\definitionsverweis {paarweise disjunkte}{}{}
\definitionsverweis {messbare Teilmengen}{}{.}
Nach
Aufgabe 70.8
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ M } \nu(T(x)) \, d \mu
}
{ =} { \int_{ M } \nu { \left( { \left( \biguplus_{i \in I} T_i \right) } (x) \right) } \, d \mu
}
{ =} { \int_{ M } \nu { \left( \biguplus_{i \in I} T_i(x) \right) } \, d \mu
}
{ =} { \int_{ M } \sum_{i \in I} \nu(T_i(x) ) \, d \mu
}
{ =} { \sum_{i \in I} \int_{ M } \nu( T_i(x) ) \, d \mu
}
}
{}
{}{,}
sodass die
$\sigma$-\definitionsverweis {Additivität
}{}{}
erfüllt ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Für einen Quader
\mathl{A \times B}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } \nu((A \times B)(x)) \, d \mu
}
{ =} { \int_{ A } \nu(B) \, d \mu
}
{ =} { \mu(A) \cdot \nu(B)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
Aufgrund des
Eindeutigkeitssatzes für das Produktmaß
muss daher das durch das Integral definierte Maß mit dem Produktmaß übereinstimmen.