Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 5/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Für die Zahl ${}1000000\pi$ soll eine rationale Approximation gefunden werden, die vom wahren Wert um höchstens ${}{\frac {1}{1000}}$-stel abweicht. Wie gut muss eine Approximation für ${}\pi$ sein, dass man daraus eine solche gewünschte Approximation erhalten kann?

Die beiden folgenden Aufgaben sollen dazu anregen, über die Güte von Dezimalbruchentwicklungen zu diskutieren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Stimmen die beiden reellen Zahlen

${\frac {\pi {\sqrt {163}}}{3}}\,\,{\text{ und }}\,\,\ln 640320$

überein?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Stimmen die beiden reellen Zahlen

${\sqrt {5}}+{\sqrt {22+2{\sqrt {5}}}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {11+2{\sqrt {29}}}}+{\sqrt {16-2{\sqrt {29}}+2{\sqrt {55-10{\sqrt {29}}}}}}$

überein?

Aufgabe Aufgabe 5.4 ändern

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}a\in K$. Zeige, dass die Gleichung ${}x^{2}=a$ höchstens zwei Lösungen in ${}K$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es in ${}\mathbb {Q}$ kein Element ${}x$ mit ${}x^{2}=2$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=3$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu ${}b=7$ mit dem Startwert ${}x_{0}=3$ durch (es sollen also die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ für ${}{\sqrt {7}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert ${}x_{0}$ die Quadratwurzel von ${}c\in \mathbb {R} _{+}$ berechnen möchte?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl ${}c\in \mathbb {R} _{-}$ (mit einem positiven Startwert ${}x_{0}$) berechnen möchte?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass ${}K$ genau dann archimedisch angeordnet ist, wenn die Folge der Stammbrüche ${}{\frac {1}{n}},\,n\geq 1$, gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Folge ${}{\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem archimedisch angeordneten Körper gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die Folge

${}x_{n}:={\frac {2}{3n+5}}\,$

und

${}\epsilon ={\frac {1}{10}},\,{\frac {1}{100}},\,{\frac {1}{1000}},\,{\frac {1}{10000}},\ldots \,,$

ab welchem (minimalen) ${}n$ die Abschätzung

${}x_{n}\leq \epsilon \,$

gilt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch

${}x_{n}={\begin{cases}1,\,{\text{ falls }}n{\text{ eine Primzahl ist}}\,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definiert.

1. Bestimme ${}x_{117}$ und ${}x_{127}$.
2. Konvergiert die Folge in ${}\mathbb {Q}$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper ${}K$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen ${}x\in K$ konvergiert, wenn die durch

${}y_{n}:=x_{n}-x\,$

gegebene Folge eine Nullfolge ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$, die beide gegen ${}c\in K$ konvergieren mögen. Zeige, dass die Differenzfolge ${}x_{n}-y_{n}$ eine Nullfolge ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Jemand sagt zur Folge ${}x_{n}:={\frac {n}{2n}}$. „Der Zähler und der Nenner gehen hier beide gegen unendlich. Doch der Nenner geht deutlich schneller gegen unendlich, deshalb konvergiert die Folge gegen ${}0$“. Beurteile diese Argumentation.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die folgenden (Pseudo)-Definitionen.

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei ${}x\in K$.

1. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, und alle ${}n\in \mathbb {N}$ gilt die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,.$

2. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon \geq 0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

3. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ und jedes ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

4. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$ derart, dass die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

5. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, und jedem ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$, ${}n\geq n_{0}$, derart, dass die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

6. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, derart, dass für alle ${}n\in \mathbb {N}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

7. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, und ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

8. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}x_{n}-x\leq \epsilon \,$

   gilt.

Vergleiche diese Definitionen mit der Definition von Konvergenz. Worin besteht der Unterschied? Welche Bedeutung haben die einzelnen Definitionen? Welche Definitionen sind zueinander äquivalent, zwischen welchen besteht eine Implikation (Beweis oder Gegenbeispiel)? Für welche Definitionen ist das ${}x$ eindeutig bestimmt?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine gegen ${}x$ konvergente Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass jede Teilfolge ebenfalls gegen ${}x$ konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine Folge, die nicht konvergiert, aber eine konvergente Teilfolge enthält.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man untersuche die folgenden Teilmengen ${}M\subseteq \mathbb {Q}$ auf die Begriffe obere Schranke, untere Schranke, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum.

1. ${}\{2,-3,-4,5,6,-1,1\}$,
2. ${}\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {-3}{7}},{\frac {-4}{9}},{\frac {5}{9}},{\frac {6}{13}},{\frac {-1}{3}},{\frac {1}{4}}\right\}$,
3. ${}]-5,2]$,
4. ${}{\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$,
5. ${}{\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}$,
6. ${}\mathbb {Q} _{-}$,
7. ${}{\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\right\}}$,
8. ${}{\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 4\right\}}$,
9. ${}{\left\{x^{2}\mid x\in \mathbb {Z} \right\}}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}M\subseteq K$ eine Teilmenge, die ein Supremum ${}T$ besitze. Zeige, dass ${}T$ genau dann das Maximum von ${}M$ ist, wenn ${}T\in M$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr ${}7:21$ (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie ${}7:26$ an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.

In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$ ist rekursiv definiert durch

$f_{1}:=1\,,f_{2}:=1{\text{ und }}f_{n+2}:=f_{n+1}+f_{n}.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$. Sie besagt (für $n\geq 2$)

${}f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

${}f_{n}={\frac {{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)}^{n}-{\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)}^{n}}{\sqrt {5}}}\,$

gilt (${}n\geq 1$).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$ mit ${}x_{n}>0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Folge genau dann bestimmt divergent gegen ${}+\infty$ ist, wenn ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe Aufgabe 5.28 ändern

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}x\in K$ mit ${}\vert {x}\vert <1$. Zeige, dass die Folge

${}x_{n}:=x^{n}\,$

gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Man gebe ein Beispiel einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, für die es sowohl eine bestimmt gegen ${}+\infty$ als auch eine bestimmt gegen ${}-\infty$ divergente Teilfolge gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine bestimmt gegen ${}+\infty$ divergente Folge in ${}K$ nach unten beschränkt ist.

Man gebe ein Beispiel einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die nach unten, aber nicht nach oben beschränkt ist, und die nicht bestimmt divergent gegen ${}+\infty$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme alle Häufungspunkte der Folge ${}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, welche durch

$a_{n}=(-1)^{n}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)-{\frac {1}{n}}$

gegeben ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}7$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für die Folge

${}x_{n}:={\frac {2n+1}{3n-4}}\,$

und

${}\epsilon ={\frac {1}{10}},\,{\frac {1}{100}},\,{\frac {1}{1000}}\,,$

ab welchem (minimalen) ${}n$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-{\frac {2}{3}}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit Grenzwert ${}x$. Zeige, dass dann auch die Folge

${\left(\vert {x_{n}}\vert \right)}_{n\in \mathbb {N} }$

konvergiert, und zwar gegen ${}\vert {x}\vert$.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit Grenzwert ${}x$. Zeige, dass dann auch die durch

${}y_{n}:={\frac {x_{0}+x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}\,$

definierte Folge gegen ${}x$ konvergiert.

Tipp: Man reduziere zuerst auf ${}x=0$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

${\left({\frac {n}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

gegen ${}0$ konvergiert.

Tipp: Finde eine geeignete Abschätzung für ${}2^{n}$ mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes.

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 5.37 ändern

Man gebe Beispiele für konvergente Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}x_{n}\neq 0$, ${}n\in \mathbb {N}$, und mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ derart, dass die Folge

${\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

1. gegen ${}0$ konvergiert,
2. gegen ${}1$ konvergiert,
3. divergiert.

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 5.38 ändern

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und ${}x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}x$ genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn es eine gegen ${}x$ konvergente Teilfolge gibt.