Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 8

Übungsaufgaben

Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form ${}a+b{\mathrm {i} }$ mit reellen Zahlen ${}a,b$ angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.

Aufgabe

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der komplexen Zahlen.

1. ${}(5+4{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })$.
2. ${}(2+3{\mathrm {i} })(2-4{\mathrm {i} })+3(1-{\mathrm {i} })$.
3. ${}(2{\mathrm {i} }+3)^{2}$.
4. ${}{\mathrm {i} }^{1011}$.
5. ${}(-2+5{\mathrm {i} })^{-1}$.
6. ${}{\frac {4-3{\mathrm {i} }}{2+{\mathrm {i} }}}$.

Aufgabe *

Bestätige die Gleichung

${}(-2+{\mathrm {i} })^{3}+(-2-{\mathrm {i} })^{3}=(1+{\mathrm {i} })^{4}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass für reelle Zahlen die Addition und die Multiplikation als reelle Zahlen und als komplexe Zahlen übereinstimmen.

Aufgabe *

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.

Aufgabe

Zeige, dass ${}P=\mathbb {R} ^{2}$ mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein Körper ist.

Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen.

1. ${}{\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\geq -3\right\}}$,
2. ${}{\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\leq 2\right\}}$,
3. ${}{\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert \leq 5\right\}}$.

Aufgabe *

a) Berechne

$(4-7{\mathrm {i} })(5+3{\mathrm {i} }).$

b) Bestimme das inverse Element ${}z^{-1}$ zu

${}z=3+4{\mathrm {i} }\,.$

c) Welchen Abstand hat ${}z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?

Aufgabe *

Löse die lineare Gleichung

${}(2+5{\mathrm {i} })z=(3-7{\mathrm {i} })\,$

über ${}{\mathbb {C} }$ und berechne den Betrag der Lösung.

Aufgabe

Finde zu einer komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$

die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.

Aufgabe *

Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.

1. Es ist ${}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }$.
2. Es ist ${}\operatorname {Re} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Re} \,{\left(w\right)}$.
3. Es ist ${}\operatorname {Im} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(w\right)}$.
4. Für ${}r\in \mathbb {R}$ ist

   $\operatorname {Re} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}{\text{ und }}\operatorname {Im} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}.$

5. Es ist ${}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}$ genau dann, wenn ${}z\in \mathbb {R}$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=0$ ist.

Aufgabe *

Berechne

$(x+{\mathrm {i} }y)^{n}.$

Aufgabe *

Zeige, dass für eine komplexe Zahl ${}z$ die folgenden Beziehungen gelten.

1. Es ist ${}{\overline {z}}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}-\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }$.
2. Es ist ${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$.
3. Es ist ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}={\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}$.

Aufgabe

Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.

1. Es ist ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {z\ {\overline {z}}}}$.
2. Für reelles ${}z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
3. Es ist ${}\vert {z}\vert =0$ genau dann, wenn ${}z=0$ ist.

4. ${}\vert {z}\vert =\vert {\overline {z}}\vert \,.$

5. ${}\vert {zw}\vert =\vert {z}\vert \vert {w}\vert \,.$

6. Für ${}z\neq 0$ ist ${}\vert {1/z}\vert =1/\vert {z}\vert$.

7. ${}\vert {\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}}\vert ,\vert {\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}}\vert \leq \vert {z}\vert \,.$

Aufgabe

Zeige, dass eine Folge komplexer Zahlen

${}z_{n}=x_{n}+{\mathrm {i} }y_{n}\,$

genau dann konvergiert, wenn sowohl ${}x_{n}$ als auch ${}y_{n}$ konvergiert. Für den Grenzwert gilt dabei

${}\lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}+{\mathrm {i} }\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\,.$

Aufgabe

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}{\mathbb {C} }$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Die Folge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt

   $\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}+y_{n})=(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n})+(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}).$

2. Die Folge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt

   $\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}\cdot y_{n})=(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n})\cdot (\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}).$

3. Für ${}c\in {\mathbb {C} }$ gilt

   $\lim _{n\rightarrow \infty }cx_{n}=c(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}).$

4. Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}.$

5. Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}{\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}.$

Aufgabe *

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl mit ${}\vert {z}\vert <1$. Zeige, dass die Folge ${}{\left(z^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl mit ${}\vert {z}\vert >1$. Zeige, dass die Folge ${}{\left(z^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ divergiert.

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ von komplexen Zahlen heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem reellen ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

$\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die komplexen Zahlen vollständig sind, dass also in ${}{\mathbb {C} }$ jede Cauchy-Folge konvergiert.

Die folgende Aufgabe beschreibt eine komplexe Version von Satz 7.7.

Aufgabe

Es seien ${}a<b$ und ${}c<d$ reelle Zahlen und sei

${}Q={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid a\leq \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\leq b,\,c\leq \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\leq d\right\}}\,$

das dadurch definierte Reckteck in ${}{\mathbb {C} }$. Es sei ${}z_{n}$ eine Folge in ${}Q$. Zeige, dass diese Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.

Aufgabe

Bestätige die in Beispiel 8.11 angegebene Formel für die Quadratwurzel einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ im Fall ${}b<0$.

Aufgabe

Es seien ${}a,b,c\in {\mathbb {C} }$ mit ${}a\neq 0$. Zeige, dass es für die Gleichung

${}az^{2}+bz+c=0\,$

mindestens eine komplexe Lösung ${}z$ gibt.

Aufgabe

Es seien ${}a,b,c\in {\mathbb {C} }$ mit ${}a\neq 0$. Man charakterisiere, wann es für die Gleichung

$az^{2}+bz+c=0$

genau eine Lösung in ${}{\mathbb {C} }$ gibt und wann zwei Lösungen.

Aufgabe

Man bestimme die beiden komplexen Lösungen der Gleichung

$z^{2}+5{\mathrm {i} }z-3=0.$

Der Begriff eines Häufungspunktes lässt sich unmittelbar auf komplexe Folgen erweitern.

Aufgabe

Bestimme die Häufungspunkte der komplexen Folge ${}{\left({\mathrm {i} }^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Man gebe für jeden Häufungspunkt eine Teilfolge an, die gegen diesen Punkt konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die komplexen Zahlen

$(1+{\mathrm {i} })^{n}$

für ${}n=1,2,3,4,5$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für die komplexe Konjugation die folgenden Rechenregeln gelten.

1. Es ist ${}{\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$.
2. Es ist ${}{\overline {-z}}=-{\overline {z}}$.
3. Es ist ${}{\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}$.
4. Für ${}z\neq 0$ ist ${}{\overline {1/z}}=1/{\overline {z}}$.
5. Es ist ${}{\overline {\overline {z}}}=z$.
6. Es ist ${}{\overline {z}}=z$ genau dann, wenn ${}z\in \mathbb {R}$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von ${}{\mathrm {i} }$.

Aufgabe (3 Punkte)

Man finde alle drei komplexen Zahlen ${}z$, die die Bedingung

$z^{3}=1$

erfüllen.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}n$ komplexe Zahlen ${}z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}$ in der Kreisscheibe ${}B$ mit Mittelpunkt ${}(0,0)$ und Radius ${}1$, also in ${}B={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert \leq 1\right\}}$, gegeben. Zeige, dass es einen Punkt ${}w\in B$ mit der Eigenschaft

${}\sum _{i=1}^{n}\vert {z_{i}-w}\vert \geq n\,$

gibt.