Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 12

Stetige Funktionen

Den Abstand zwischen zwei reellen (oder komplexen) Zahlen ${}x$ und ${}x'$ bezeichnen wir mit

${}d(x,x'):=\vert {x-x'}\vert \,.$

Bei einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

kann man sich fragen, inwiefern der Abstand in der Wertemenge durch den Abstand in der Definitionsmenge kontrollierbar ist. Es sei ${}x\in \mathbb {R}$ und ${}y=f(x)$ der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte ${}x'$, die „nahe“ an ${}x$ sind, auch die Bildpunkte ${}f(x')$ „nahe“ an ${}f(x)$ sind. Schon lineare Funktionen mit unterschiedlicher Steigung zeigen, dass die „Nähe“ im Bildbereich nicht mit der „Nähe“ im Definitionsbereich direkt verglichen werden kann. Die Zielsetzung ist vielmehr, dass zu einer gewünschten Genauigkeit im Bildbereich überhaupt eine Ausgangsgenauigkeit gefunden werden kann, die sichert, dass die Funktionswerte innerhalb der gewünschten Genauigkeit beieinander liegen.

Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Dieses ${}\epsilon$ repräsentiert eine „gewünschte Zielgenauigkeit“. Die Frage ist dann, ob man ein ${}\delta >0$ finden kann (eine „Startgenauigkeit“) mit der Eigenschaft, dass für alle ${}x'$ mit ${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ die Beziehung ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$ gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Abbildung, den wir parallel für die reellen und die komplexen Zahlen entwickeln. Wir verwenden für ${}\mathbb {R}$ und ${}{\mathbb {C} }$ das gemeinsame Symbol ${}{\mathbb {K} }$ und wir betrachten Funktionen

$\varphi \colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

wobei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge ist. Wegen ${}\mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$ könnte man sich auf ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ beschränken. Allerdings ist die reelle Situation etwas suggestiver und viele komplexe Fragestellungen lassen sich einfach auf den reellen Fall zurückführen, sodass es durchaus erlaubt ist, sich zunächst auf ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ zu beschränken.

Definition

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion und ${}x\in T$. Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}x$ ist, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'$ mit ${}d(x,x')\leq \delta$ die Abschätzung ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon$ gilt. Man sagt, dass ${}f$ stetig ist, wenn sie in jedem Punkt ${}x\in T$ stetig ist.

Bei ${}T$ sollte man an den Definitionsbereich der Funktion denken. Typische Situationen sind, dass ${}T$ ganz ${}{\mathbb {K} }$ ist, oder ein reelles Intervall, oder ${}\mathbb {R}$ ohne endlich viele Punkte und Ähnliches. Statt mit den nichnegativen reellen Zahlen ${}\epsilon$ und ${}\delta$ kann man genauso gut mit Stammbrüchen ${}{\frac {1}{n}}$ und ${}{\frac {1}{m}}$ arbeiten.

Beispiel

Eine konstante Funktion

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto c,$

ist stetig. Zu jedem vorgegeben ${}\epsilon$ kann man hier ein beliebiges ${}\delta$ wählen, da ja ohnehin

${}d(f(x),f(x'))=d(c,c)=0\leq \epsilon \,$

gilt.

Beispiel

Eine lineare Funktion

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto cx,$

mit einem Proportionalitätsfaktor ${}c\neq 0$ (bei ${}c=0$ ist die Funktion konstant und somit auch stetig) ist stetig. Zu jedem vorgegebenen ${}\epsilon$ kann man unabhängig vom Punkt ${}x$ hier ${}\delta ={\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}$ wählen: Wenn nämlich

${}d(x,x')\leq \delta ={\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}\,$

gilt, so ist

${}d(f(x),f(x'))=d(cx,cx')=\vert {c}\vert \cdot d(x,x')\leq \vert {c}\vert \cdot \delta =\vert {c}\vert \cdot {\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}=\epsilon \,.$

Insbesondere ist die Identität

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto x,$

stetig.

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}x<0\,,\\1,{\text{ falls }}x\geq 0\,.\end{cases}}\,$

Diese Funktion ist im Nullpunkt ${}0$ nicht stetig. Für ${}\epsilon ={\frac {1}{2}}$ und jedes beliebige positive ${}\delta$ gibt es nämlich negative Zahlen ${}x'$ mit ${}d(0,x')=\vert {x'}\vert \leq \delta$. Für diese ist aber ${}d(f(0),f(x'))=d(1,0)=1\not \leq {\frac {1}{2}}$.

Nicht jede stetige Funktion kann man zeichnen, auch nicht nach beliebiger Vergrößerung. Gezeigt wird eine Approximation einer Weierstraß-Funktion, die stetig, aber nirgendwo differenzierbar ist. Bei einer stetigen Funktion kann man zwar die Größe der Schwankungen im Bildbereich durch Einschränkungen im Definitionsbereich kontrollieren, die Anzahl der Schwankungen (die Anzahl der Richtungswechsel des Graphen) kann man aber nicht kontrollieren.

Die folgende Aussage bringt die Stetigkeit mit konvergenten Folgen in Verbindung.

Satz

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion und ${}x\in T$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
2. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.

Beweis

Es sei (1) erfüllt und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}T$, die gegen ${}x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass

${}\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)\,$

ist. Dazu sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein ${}\delta >0$ mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ gibt es eine natürliche Zahl ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}d(x_{n},x)\leq \delta \,$

gilt. Nach der Wahl von ${}\delta$ ist dann

$d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},$

sodass die Bildfolge gegen ${}f(x)$ konvergiert.
Es sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass ${}f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es für alle ${}\delta >0$ Elemente ${}z\in T$ gibt, deren Abstand zu ${}x$ maximal gleich ${}\delta$ ist, deren Wert ${}f(z)$ unter der Abbildung aber zu ${}f(x)$ einen Abstand besitzt, der größer als ${}\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche ${}\delta =1/n$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. D.h. für jede natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein ${}x_{n}\in T$ mit

$d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .$

Diese so konstruierte Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen ${}x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen ${}f(x)$, da der Abstand der Bildfolgenglieder zu ${}f(x)$ zumindest ${}\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).

$\Box$

Rechenregeln für stetige Funktionen

Lemma

Es seien ${}S\subseteq {\mathbb {K} }$ und ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ Teilmengen und

$f\colon S\longrightarrow {\mathbb {K} }$

und

$g\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen mit ${}f(S)\subseteq T$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}f$ in ${}x\in S$ und ${}g$ in ${}f(x)$ stetig ist, so ist auch die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ in ${}x$ stetig.
2. Wenn ${}f$ und ${}g$ stetig sind, so ist auch ${}g\circ f$stetig.

Beweis

Die Aussage (1) ergibt sich direkt aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit. Daraus folgt auch (2).

$\Box$

Lemma

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ und seien

$f,g\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

stetige Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen

$f+g\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)+g(x),$

$f-g\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)-g(x),$

$f\cdot g\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$

stetig. Für eine Teilmenge ${}U\subseteq T$, auf der ${}g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

$f/g\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)/g(x),$

stetig.

Beweis

Dies ergibt sich aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit und Satz 8.10.

$\Box$

Korollar

Polynomfunktionen

$P\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto P(x),$

sind stetig.

Beweis

Aufgrund von Beispiel 12.2 und Lemma 12.7 sind für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die Potenzen

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto x^{n},$

stetig. Daher sind auch für jedes ${}a\in {\mathbb {K} }$ die Funktionen

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto ax^{n},$

stetig und wiederum aufgrund von Lemma 12.7 sind auch alle Funktionen

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$

stetig.

$\Box$

Rationale Funktionen sind auf ihrer Definitionsmenge stetig.

Korollar

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {K} }[X]$ Polynome und es sei ${}U:={\left\{x\in {\mathbb {K} }\mid Q(x)\neq 0\right\}}$.

Dann ist die rationale Funktion

$U\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto {\frac {P(x)}{Q(x)}},$

stetig.

Beweis

Dies folgt aus Korollar 12.8 und Lemma 12.7.

$\Box$

Grenzwerte von Funktionen

Eng verwandt mit dem Stetigkeitsbegriff ist der Begriff des Grenzwertes einer Funktion.

Definition

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei ${}a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es sei

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Dann heißt ${}b\in {\mathbb {K} }$ Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für jedes ${}x\in T$ aus

${}\vert {x-a}\vert \leq \delta \,$

die Abschätzung

${}\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon \,$

folgt. In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

Dieser Begriff ist eigentlich nur dann sinnvoll, wenn es in jeder offenen Umgebung von ${}a$ auch Punkte aus ${}T$ gibt. Dann heißt ${}a$ ein Berührpunkt von ${}T$. In diesem Fall ist der Grenzwert, wenn er existiert, eindeutig bestimmt (andernfalls ist jeder Punkt ein Grenzwert).

Eine typische Situation ist die folgende: Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}a\in I$ sei ein Punkt darin und es sei

${}T=I\setminus \{a\}\,.$

Die Funktion sei auf ${}T$, aber nicht im Punkt ${}a$ definiert, und es geht um die Frage, inwiefern man ${}f$ zu einer sinnvollen Funktion ${}{\tilde {f}}$ auf ganz ${}I$ fortsetzen kann. Dabei soll ${}{\tilde {f}}(a)$ durch ${}f$ bestimmt sein. In Zusammenhang mit differenzierbaren Funktionen werden wir zu einer Funktion ${}g$ im Punkt ${}a$ die Steigung der Sekanten untersuchen, die durch ${}(a,g(a))$ und ${}(x,g(x))$, ${}x\neq a$, festgelegt sind. Diese Steigung ist durch ${}f(x)={\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}$ gegeben, wobei dieser Ausdruck für ${}x=a$ nicht definiert ist. Der Grenzwert davon für ${}x\rightarrow a$ ist, falls er existiert, die Steigung der Tangente.

Lemma

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei ${}a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es sei ${}f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine Funktion und ${}b\in {\mathbb {K} }$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

2. Für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert, konvergiert auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$.

Beweis

Siehe Aufgabe 12.27.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei ${}a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es seien ${}f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ und ${}g\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren. Dann gelten folgende Beziehungen.

1. Die Summe ${}f+g$ besitzt einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)+g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)+\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\,.$

2. Das Produkt ${}f\cdot g$ besitzt einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)\cdot g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)\cdot \operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\,.$

3. Es sei ${}g(x)\neq 0$ für alle ${}x\in T$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\neq 0$. Dann besitzt der Quotient ${}f/g$ einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)}{\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)}}\,.$

Beweis

Dies ergibt sich aus Lemma 12.11 und aus Satz 8.10.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten den Limes

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {{\sqrt {x+4}}-2}{x}},$

wobei ${}x\in \mathbb {R} \setminus \{0\},\,x\geq -4$, ist. Für ${}x=0$ ist der Ausdruck nicht definiert, und aus dem Ausdruck ist nicht direkt ablesbar, ob der Grenzwert existiert und welchen Wert er annimmt. Man kann den Ausdruck aber mit ${}{\sqrt {x+4}}+2$ erweitern, und erhält dann

${}{\begin{aligned}{\frac {{\sqrt {x+4}}-2}{x}}&={\frac {{\left({\sqrt {x+4}}-2\right)}{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {x+4-4}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {x}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {1}{{\sqrt {x+4}}+2}}.\end{aligned}}$

Aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte können wir den Grenzwert von Zähler und Nenner ausrechnen, wobei wir im Nenner die Stetigkeit der Quadratwurzel gemäß Aufgabe 12.4 verwenden, und es ergibt sich insgesamt ${}1/4$.

Korollar

Es sei ${}S\subseteq {\mathbb {K} }$, ${}a\in S$ und ${}T=S\setminus \{a\}$. Es sei ${}f\colon S\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Funktion ${}f$ ist stetig in ${}a$.
2. Es ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\in T}f(x)=f(a)\,.$

Beweis

Dies ergibt sich direkt aus Lemma 12.11 oder aus dem Folgenkriterium.

$\Box$

Für eine stetige Funktion ${}f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ folgt daraus, dass sie sich zu einer stetigen Funktion ${}{\tilde {f}}\colon T\cup \{a\}\rightarrow {\mathbb {K} }$ (durch ${}{\tilde {f}}(a)=b$) genau dann fortsetzen lässt, wenn der Limes von ${}f$ in ${}a$ gleich ${}b$ ist.

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