Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 23/latex
\setcounter{section}{23}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Integral_as_region_under_curve.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Integral as region under curve.svg } {} {4C} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
In den folgenden Vorlesungen beschäftigen wir uns mit der \stichwort {Integrationstheorie} {,} d.h. wir wollen den Flächeninhalt derjenigen Fläche, die durch einen Funktionsgraphen einer Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} und der $x$-Achse begrenzt wird, systematisch studieren und berechnen. Zugleich ergibt sich ein direkter Zusammenhang zum Auffinden von \stichwort {Stammfunktionen} {,} das sind Funktionen, deren Ableitung $f$ ist. Der Flächeninhalt ist kein unproblematischer Begriff, den wir erst im dritten Semester im Rahmen der \stichwort {Maßtheorie} {} grundlegend behandeln werden. Dennoch handelt es sich um einen intuitiv leicht zugänglichen Begriff, von dem wir hier nur einige wenige naheliegende Grundtatsachen verwenden. Sie dienen hier auch nirgendwo der Argumentation, sondern lediglich der Motivation. Ausgangspunkt ist, dass der Flächeninhalt eines Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen einfach das Produkt der beiden Seitenlängen ist, und dass der Flächeninhalt einer Fläche, die man mit Rechtecken \anfuehrung{ausschöpfen}{} kann, als der Limes der Summe der beteiligten Rechtecksinhalte erhalten werden kann. Beim \stichwort {Riemannschen Integral} {,} das zumindest für stetige Funktionen eine befriedigende Theorie liefert, beschränkt man sich auf solche Rechtecke, die parallel zum Koordinatensystem liegen, deren Breite \zusatzklammer {Grundseite auf der $x$-Achse} {} {} beliebig variieren darf und deren Höhe in Beziehung zu den Funktionswerten über der Grundseite steht. Dadurch werden die Funktionen durch sogenannte \stichwort {Treppenfunktionen} {} approximiert.
\zwischenueberschrift{Treppenfunktionen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Histogram_example.svg} }
\end{center}
\bildtext {Eine Treppenfunktion. Im statistischen Kontext spricht man von Histogrammen oder von Säulendiagrammen.} }
\bildlizenz { Histogram example.svg } {} {} {Commons} {} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles}{}{}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
mit den Grenzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Dann heißt eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
eine \definitionswort {Treppenfunktion}{,} wenn es eine Unterteilung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a
}
{ =} { a_0
}
{ <} { a_1
}
{ <} { a_2
}
{ <} { \cdots
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ <} { a_{n-1}
}
{ <} { a_n
}
{ =} { b
}
{ } {}
}{}{}
von $I$ derart gibt, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall
\mathl{]a_{i-1},a_{i}[}{}
\definitionsverweis {konstant}{}{}
ist.
}
Diese Definition stellt also keine Bedingung an den Wert der Funktion an den Unterteilungspunkten. Das Intervall
\mathl{]a_{i-1},a_i[}{} nennt man $i$-tes Teilintervall, und
\mathl{a_i-a_{i-1}}{} heißt Länge dieses Teilintervalls. Wenn die Länge der Teilintervalle konstant ist, so spricht man von einer \stichwort {äquidistanten Unterteilung} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles}{}{}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
mit den Grenzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} und sei
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{}
zur Unterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ a_0
}
{ < }{ a_1
}
{ < }{ a_2
}
{ < }{ \cdots
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ < }{ a_{n-1}
}
{ < }{ a_n
}
{ = }{b
}
{ }{}
{}{}
}{}{}
und den Werten
\mathbed {t_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {.}
Dann heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ \defeq} { \sum_{i = 1}^n t_i (a_i - a_{i-1})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {Treppenintegral}{} von $t$ auf $I$.
}
Das Treppenintegral wird auch mit
\mathl{\int_{ a }^{ b } t ( x) \, d x}{} bezeichnet. Bei einer äquidistanten Unterteilung mit der Teilintervalllänge
\mathl{\frac{b-a}{n}}{} ist das Treppenintegral gleich
\mathl{\frac{b-a}{n} { \left( \sum_{i = 1}^n t_i \right) }}{.} Das Treppenintegral ist nicht von der gewählten Unterteilung abhängig, bezüglich der eine Treppenfunktion vorliegt
\zusatzklammer {man kann also die Unterteilung verfeinern} {} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann heißt eine
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{}
\maabbdisp {t} { I } { \R
} {}
eine \definitionswort {obere Treppenfunktion}{} zu $f$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t(x)
}
{ \geq }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Eine Treppenfunktion
\maabbdisp {s} { I } { \R
} {}
heißt eine \definitionswort {untere Treppenfunktion}{} zu $f$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s(x)
}
{ \leq }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
Eine obere \zusatzklammer {untere} {} {} Treppenfunktion zu $f$ gibt es genau dann, wenn $f$ nach oben \zusatzklammer {nach unten} {} {} beschränkt ist.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zu jeder
\definitionsverweis {oberen Treppenfunktion}{}{}
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
von $f$ zur Unterteilung
\mathbed {a_i} {}
{i=0 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
und den Werten
\mathbed {t_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
heißt das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ \defeq} { \sum_{i = 1}^n t_i { \left( a_i - a_{i-1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein \definitionswort {oberes Treppenintegral}{}
\zusatzklammer {oder eine \definitionswort {Obersumme}{}} {} {}
von $f$ auf $I$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zu jeder
\definitionsverweis {unteren Treppenfunktion}{}{}
\maabbdisp {s} {I} {\R
} {}
von $f$ zur Unterteilung
\mathbed {a_i} {}
{i=0 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
und den Werten
\mathbed {s_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ \defeq} { \sum_{i = 1}^n s_i { \left( a_i - a_{i-1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein \definitionswort {unteres Treppenintegral}{}
\zusatzklammer {oder eine \definitionswort { Untersumme}{}} {} {}
von $f$ auf $I$.
}
Verschiedene obere \zusatzklammer {untere} {} {} Treppenfunktionen liefern natürlich verschiedene obere \zusatzklammer {und untere} {} {} Treppenintegralge.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein \definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{} und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine nach oben beschränkte \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann heißt das \definitionsverweis {Infimum}{}{} von sämtlichen \definitionsverweis {Treppenintegralen}{}{} zu \definitionsverweis {oberen Treppenfunktionen}{}{} von $f$ das \definitionswort {Oberintegral}{} von $f$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein \definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{} und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine nach unten beschränkte \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann heißt das \definitionsverweis {Supremum}{}{} von sämtlichen \definitionsverweis {Treppenintegralen}{}{} zu \definitionsverweis {unteren Treppenfunktionen}{}{} von $f$ das \definitionswort {Unterintegral}{} von $f$.
}
Die Beschränkung nach unten stellt sicher, dass es überhaupt eine untere Treppenfunktion gibt und damit die Menge der unteren Treppenintegrale nicht leer ist. Unter dieser Bedingung allein muss nicht unbedingt die Menge der unteren Treppenintegrale ein Supremum besitzen. Für \zusatzklammer {beidseitig} {} {} beschränkte Funktionen existiert hingegen stets das Ober- und das Unterintegral. Bei einer gegebenen Unterteilung gibt es eine kleinste obere \zusatzklammer {größte untere} {} {} Treppenfunktion, die durch die Suprema \zusatzklammer {Infima} {} {} der Funktion auf den Teilintervallen festgelegt ist. Bei stetigen Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen sind das Maxima bzw. Minima. Für das Integral muss man aber Treppenfunktionen zu sämtlichen Unterteilungen berücksichtigen.
\zwischenueberschrift{Riemann-integrierbare Funktionen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Integral_approximations.svg} }
\end{center}
\bildtext {Eine untere und eine obere Treppenfunktion. Der grüne Flächeninhalt ist eine Untersumme und der gelbe Flächeninhalt
\zusatzklammer {teilweise verdeckt} {} {} ist eine Obersumme.} }
\bildlizenz { Integral approximations.svg } {} {KSmrq} {Commons} {CC-vy-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein \definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann heißt $f$ \definitionswort {Riemann-integrierbar}{,} wenn \definitionsverweis {Ober}{}{-} und \definitionsverweis {Unterintegral}{}{} von $f$ existieren und übereinstimmen.
}
Historisch korrekter ist es, von \stichwort {Darboux-integrierbar} {} zu sprechen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{.} Zu einer
\definitionsverweis {Riemann-integrierbaren Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {I = [a,b]} {\R
} {t} {f(t)
} {,}
heißt das
\definitionsverweis {Oberintegral}{}{}
\zusatzklammer {das nach Definition mit dem
\definitionsverweis {Unterintegral}{}{}
übereinstimmt} {} {}
das \definitionswort {bestimmte Integral}{} von $f$ über $I$. Es wird mit
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t \text{ oder mit } \int_{ I }^{ } f ( t) \, d t} { }
bezeichnet.
}
Das Berechnen von solchen Integralen nennt man \stichwort {integrieren} {.} Man sollte sich keine allzu großen Gedanken über das Symbol $dt$ machen. Darin wird ausgedrückt, bezüglich welcher Variablen die Funktion zu integrieren ist. Es kommt dabei aber nicht auf den Namen der Variablen an, d.h. es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(t) \, d t
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } f(x) \, d x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
{Riemann Integral/Treppenfunktionen mit gleichem Limes/Integral/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Es gebe eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {unteren Treppenfunktionen}{}{}
\mathbed {{ \left( s_n \right) }_{ n \in \N }} {mit}
{s_n \leq f} {}
{} {} {} {}
und eine Folge von oberen Treppenfunktionen
\mathbed {{ \left( t_n \right) }_{ n \in \N }} {mit}
{t_n \geq f} {}
{} {} {} {.}}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale
\definitionsverweis {konvergieren}{}{}
und dass ihr
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
übereinstimmt.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{,}
und das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
ist gleich diesem Grenzwert, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ a }^{ b } s_n ( x) \, d x
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } f ( x) \, d x
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ a }^{ b } t_n ( x) \, d x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 23.16. }
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R
} {t} {t^2
} {,}
die bekanntlich in diesem Intervall
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{}
ist. Für ein Teilintervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [a,b]
}
{ \subseteq }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist daher
\mathl{f(a)}{} das
\definitionsverweis {Minimum}{}{}
und
\mathl{f(b)}{} das
\definitionsverweis {Maximum}{}{}
der Funktion über diesem Teilintervall. Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Wir unterteilen das Intervall
\mathl{[0,1]}{} in die $n$ gleichlangen Teilintervalle
\mathbeddisp {\left[ i { \frac{ 1 }{ n } } , (i+1) { \frac{ 1 }{ n } } \right]} {}
{i=0 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {,}
der Länge ${ \frac{ 1 }{ n } }$. Das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
zu der zugehörigen
\definitionsverweis {unteren Treppenfunktionen}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 0}^{n-1} \frac{1}{n} { \left( i \frac{1}{n} \right) }^2
}
{ =} { \frac{1}{n^3} \sum_{i = 0}^{n-1} i^2
}
{ =} { \frac{1}{n^3} { \left( \frac{1}{3} n^3 - \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6} n \right) }
}
{ =} { \frac{1}{3} - \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 1.16
für die Formel für die Summe der Quadrate} {} {.}
Da die beiden
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
\mathkor {} {{ \left( 1/2n \right) }_{ n \in \N }} {und} {{ \left( 1/6n^2 \right) }_{ n \in \N }} {}
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergieren}{}{,}
ist der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
für
\mathl{n \rightarrow \infty}{} von diesen Treppenintegralen gleich ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$. Das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
zu der zugehörigen
\definitionsverweis {oberen Treppenfunktion}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{i = 0}^{n-1} \frac{1}{n} { \left( (i+1) \frac{1}{n} \right) }^2
}
{ =} { \frac{1}{n^3} \sum_{i = 0}^{n-1} (i+1)^2
}
{ =} { \frac{1}{n^3} \sum_{j = 1}^{n} j^2
}
{ =} { \frac{1}{n^3} { \left( \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6} n \right) }
}
{ =} { \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}
}
}
{}
{}{.}
Der Limes davon ist wieder ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$. Da beide Limiten übereinstimmen, müssen nach
Lemma 23.10
überhaupt das
\definitionsverweis {Ober}{}{-}
und das
\definitionsverweis {Unterintegral}{}{}
übereinstimmen, sodass die Funktion
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{}
ist und das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ 0 }^{ 1 } t^2 \, d t
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann integrierbar auf Unterteilung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I =[a,b]$ ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die Funktion $f$ ist
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{.}
}{Es gibt eine Unterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ a_0
}
{ < }{ a_1
}
{ < }{ \cdots
}
{ < }{ a_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ = }{ b
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
{}{}
}{}{}
derart, dass die einzelnen Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ \defeq }{ f |_{[a_{i-1},a_i]}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Riemann-integrierbar sind.
}{Für jede Unterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ a_0
}
{ < }{ a_1
}
{ < }{ \cdots
}
{ < }{ a_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ = }{ b
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
{}{}
}{}{}
sind die Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ \defeq }{ f |_{[a_{i-1},a_i]}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Riemann-integrierbar.
}}
\faktzusatz {In dieser Situation gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n \int_{ a_{i-1} }^{ a_i } f_i ( t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 23.20. }
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann heißt $f$ \definitionswort {Riemann-integrierbar}{,} wenn die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
von $f$ auf jedes
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [a,b]
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{}
ist.
}
Aufgrund des obigen Lemmas stimmen für ein kompaktes Intervall
\mathl{[a,b]}{} die beiden Definitionen überein. Die Integrierbarkeit einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
bedeutet nicht, dass
\mathl{\int_\R f(x) dx}{} eine Bedeutung hat bzw. existieren muss.
\zwischenueberschrift{Riemann-Integrierbarkeit stetiger Funktionen}
\inputfaktbeweis
{Intervall/Stetige Funktion/Ist Riemann integrierbar/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir können annehmen, dass das Intervall
\definitionsverweis {kompakt}{}{}
ist, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die stetige Funktion $f$ ist auf diesem kompakten Intervall
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
nach
Korollar 13.11.
Daher gibt es
\definitionsverweis {obere}{}{}
und
\definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{}
und daher existieren
\definitionsverweis {Oberintegral}{}{}
und
\definitionsverweis {Unterintegral
}{}{.}
\teilbeweis {Wir müssen zeigen, dass sie übereinstimmen.\leerzeichen{}}{Dazu genügt es, zu einem gegebenen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine untere und eine obere Treppenfunktion für $f$ anzugeben derart, dass die Differenz ihrer Treppenintegrale $\leq \epsilon$ ist.\leerzeichen{}}{}
{Nach
Lemma 14.2
ist $f$
\definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{.}
Daher gibt es zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon'
}
{ = }{ { \frac{ \epsilon }{ b-a } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle
\mathbed {x,x' \in I} {mit}
{d { \left( x, x' \right) } \leq \delta} {}
{} {} {} {}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(x') \right) }
}
{ \leq }{ \epsilon'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
so, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ b-a }{ n } }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und betrachten wir die Unterteilung des Intervalls mit den Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_i
}
{ = }{ a+ i { \frac{ b-a }{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Auf den Teilintervallen
\mathbed {[a_{i-1},a_{i}]} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
ist der Abstand zwischen dem
\definitionsverweis {Maximum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t_i
}
{ =} { {\max { \left( f(x) , a_{i-1} \leq x \leq a_{i} \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dem
\definitionsverweis {Minimum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s_i
}
{ =} { {\min { \left( f(x) , a_{i-1} \leq x \leq a_{i} \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kleiner/gleich $\epsilon'$. Die zu diesen Werten gehörigen Treppenfunktionen, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t(x)
}
{ \defeq} { \begin{cases} t_i \text{ für } x \in [a_{i-1}, a_{i}[ \text{ und } 1 \leq i \leq n-1 \, , \\ t_n \text{ für } x \in [a_{n-1},a_n] \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s(x)
}
{ \defeq} { \begin{cases} s_i \text{ für } x \in [a_{i-1}, a_{i}[ \text{ und } 1 \leq i \leq n-1 \, , \\ s_n \text{ für } x \in [a_{n-1},a_n] \, ,\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind dann eine obere bzw. untere Treppenfunktion zu $f$. Die Differenz zwischen den zugehörigen Ober- und Untersummen ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n t_i { \frac{ b-a }{ n } } - \sum_{i = 1}^n s_i { \frac{ b-a }{ n } }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n ( t_i - s_i ) { \frac{ b-a }{ n } }
}
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \epsilon' { \frac{ b-a }{ n } }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n { \frac{ \epsilon }{ n } }
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}{}{.}}
{}
Diese Aussage gilt auch für stückweise stetige Funktionen.
Wenn man Aussagen beweist, bei denen auf Unterteilungen eines Intervalls Bezug genommen wird, so ist es häufig sinnvoll, \stichwort {feinere Unterteilungen} {} einzuführen. Insbesondere ersetzt man häufig zwei verschiedene Unterteilungen durch eine gemeinsame Verfeinerung.
\inputfaktbeweis
{Riemann integrierbar/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und es seien
\maabb {f,g} {I} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungsieben{Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \leq }{f(x)
}
{ \leq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m(b-a)
}
{ \leq }{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ \leq }{ M(b-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \leq }{ g(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ \leq }{ \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Summe
\mathl{f+g}{} ist Riemann-integrierbar und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } (f+g)(t) \, d t
}
{ = }{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t + \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } (cf)(t) \, d t
}
{ = }{ c \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Funktionen
\mathl{{\max { \left( f , g \right) } }}{} und
\mathl{{\min { \left( f , g \right) } }}{} sind Riemann-integrierbar.
}{Die Funktion
\mathl{\betrag { f }}{} ist Riemann-integrierbar.
}{Das Produkt
\mathl{fg}{} ist Riemann-integrierbar.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für (1) bis (4) siehe
Aufgabe 23.21.
\teilbeweis {}{}{}
{(5). Wir betrachten die Aussage für das Maximum. Wir müssen zeigen, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine obere und eine untere Treppenfunktion derart gibt, dass die Differenz der beiden Treppenintegrale $\leq \epsilon$ ist. Es sei also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit gibt es
\definitionsverweis {Treppenfunktionen}{}{}
\mathdisp {s_1 \text{ und } t_1 \text{ mit } s_1 \leq f \leq t_1 \text{ und mit } \int_{ a }^{ b } (t_1-s_1)(x) \, d x \leq \epsilon/2} { }
und
\mathdisp {s_2 \text{ und } t_2 \text{ mit } s_2 \leq g \leq t_2 \text{ und mit } \int_{ a }^{ b } (t_2-s_2)(x) \, d x \leq \epsilon/2} { . }
Wir können annehmen, dass diesen Treppenfunktionen die gleiche Unterteilung zugrunde liegt. Es sei
\mathbed {\ell_k} {}
{k=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {}
die Länge des $k$-ten Teilintervalls $I_k$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta_k
}
{ \defeq} { (t_1-s_1) {{|}} _{I_k} + (t_2-s_2) {{|}}_{I_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{k = 1}^n \ell_k \delta_k
}
{ =} { \sum_{k = 1}^n \ell_k { \left( (t_1-s_1) {{|}} _{I_k} + (t_2-s_2) {{|}}_{I_k} \right) }
}
{ =} { \sum_{k = 1}^n \ell_k (t_1-s_1) {{|}} _{I_k} + \sum_{k = 1}^n \ell_k (t_2-s_2) {{|}}_{I_k}
}
{ \leq} { \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}
{}{.}
Wir setzen
\mathdisp {s \defeq {\max { \left( s_1 , s_2 \right) } } \text{ und } t \defeq {\max { \left( t_1 , t_2 \right) } }} { . }
Dies ist offenbar eine untere bzw. obere Treppenfunktionen für
\mathl{{\max { \left( f , g \right) } }}{.} Wir betrachten ein Teilintervall
\mathl{I_k}{} der gegebenen Unterteilung.
\fallunterscheidungdrei {Wenn dort
\mathdisp {s_1 \leq s_2 \text{ und } t_1 \leq t_2} { }
gilt, so ist dort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t-s
}
{ =} { t_2-s_2
}
{ \leq} { \delta_k
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{Wenn dort
\mathdisp {s_1 \leq s_2 \text{ und } t_2 \leq t_1} { }
gilt, so ist dort ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t-s
}
{ =} { t_1-s_2
}
{ \leq} { t_1-s_1
}
{ \leq} { \delta_k
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{Dies gilt auch in den beiden anderen Fällen.}
Damit ist die Differenz der Treppenintegrale
\mathl{\leq \sum_{k =1}^n \ell_k \delta_k \leq \epsilon}{.}}
{}
(6) folgt direkt aus (5). Für (7) siehe Aufgabe 23.29.
\inputfaktbeweis
{Gleichmäßig konvergente Funktionenfolge/Bestimmtes Integral/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {f_n} {[a,b]} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergente}{}{} \definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{}
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {.}}
\faktfolgerung {Dann gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ a }^{ b } f_n(t) \, d t
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } f(t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da die Grenzfunktion nach
Lemma 16.4
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist, existiert das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
rechts nach
Satz 23.14.
Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein $n_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f_n(t)-f(t) }
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ b-a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher gilt für diese $n$ die Abschätzung unter Verwendung von
Lemma 23.15 (3)
und
Lemma 23.15 (6)
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { \int_{ a }^{ b } f_n(t) \, d t - \int_{ a }^{ b } f(t) \, d t }
}
{ =} { \betrag { \int_{ a }^{ b } f_n(t) -f(t) \, d t }
}
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } \betrag { f_n(t) -f(t) } \, d t
}
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } { \frac{ \epsilon }{ b-a } } \, d t
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}
{}{.}