Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 57/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Höhenlinien und das Gradientenfeld zur Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2(x-3)^{2}+3(y-1)^{2}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(m,l)\longmapsto {\frac {m}{l^{2}}},$

berechnet, wobei ${}m$ für die Masse und ${}l$ für die Länge eines Menschen (oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht (in den Einheiten Kilogramm und Meter).

1. Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär?
2. Skizziere das zugehörige Gradientenfeld.
3. Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
4. Wie lassen sich die Fasern dieser Abbildung als Graphen von Funktionen beschreiben?
5. Berechne die Hesse-Matrix von ${}\varphi$ und bestimme ihren Typ in jedem Punkt.
6. Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf ${}[30,300]\times [1,2]$ einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
7. Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge ${}T$ ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, Produktabbildung und Hintereinanderschaltung.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein kritischer Punkt zu ${}h$. Wie sieht die Lösung des Anfangswertproblems

${}v(0)=P\,$

zum zugehörigen Gradientenfeld ${}\operatorname {Grad} \,h(P)$ aus?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem

${}v'=\operatorname {Grad} \,h(v)\,$

mit ${}v(0)=w$ ($w\in \mathbb {R} ^{2}$) zum Gradientenfeld zur Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem

${}v'=\operatorname {Grad} \,h(v)\,$

mit ${}v(0)=w$ (${}w\in \mathbb {R} ^{3}$) zum Gradientenfeld zur Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}-y^{2}+3yz.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Vergleiche Lemma 47.11 und Lemma 57.5.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne die ersten drei Iterationen der Picard-Lindelöf-Iteration zum Anfangswertproblem

$v'=\operatorname {Grad} \,h(v){\text{ und }}v(0)=\left(3,\,2\right)$

zu

${}h(x,y)=x^{3}-xy^{2}+y^{2}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

$G\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein Gradientenfeld und sei

$\varphi \colon J\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

(${}J\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ${}v'=G(v)$. Es gelte ${}\varphi '(t)\neq 0$ für alle ${}t\in J$. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion und

${}G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P)\,$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser ${}F$ zu ${}h$ zu zwei verschiedenen Zeitpunkten ${}t_{0}<t_{1}$ trifft. Zeige, dass ${}\varphi {|}_{[t_{0},t_{1}]}$ konstant ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion und

${}G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P)\,$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei ${}t\in \mathbb {R}$ ein Zeitpunkt mit

${}\varphi '(t)=0\,.$

a) Es sei ${}h$ zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass ${}\varphi$ konstant ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) ${}\varphi$ nicht konstant sein muss.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

$F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetiges Vektorfeld, wobei die ${}i$-te Komponente nur von der ${}i$-ten Variabeln abhängen möge. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral ${}\int _{\gamma }F$ nur von ${}\gamma (a)$ und ${}\gamma (b)$ abhängt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Fertige eine Illustration zu Beispiel 57.6 an.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto 3v^{2/3}=3{\sqrt[{3}]{v^{2}}}.$

Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung, die zum Gradientenfeld der Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y^{2},$

gehört.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Welche linearen Vektorfelder

$G\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto Mv,$

sind Gradientenfelder? Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Zeige, dass ${}U$ genau dann zusammenhängend ist, wenn man je zwei Punkte ${}P,Q\in U$ durch einen stetig differenzierbaren Weg verbinden kann.

Tipp: Man denke an den Beweis von Satz 35.13.