Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 57

Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere die Höhenlinien und das Gradientenfeld zur Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2(x-3)^{2}+3(y-1)^{2}.$

Aufgabe

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(m,l)\longmapsto {\frac {m}{l^{2}}},$

berechnet, wobei ${}m$ für die Masse und ${}l$ für die Länge eines Menschen (oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht (in den Einheiten Kilogramm und Meter).

1. Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär?
2. Skizziere das zugehörige Gradientenfeld.
3. Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
4. Wie lassen sich die Fasern dieser Abbildung als Graphen von Funktionen beschreiben?
5. Berechne die Hesse-Matrix von ${}\varphi$ und bestimme ihren Typ in jedem Punkt.
6. Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf ${}[30,300]\times [1,2]$ einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
7. Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge ${}T$ ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, Produktabbildung und Hintereinanderschaltung.

Aufgabe

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein kritischer Punkt zu ${}h$. Wie sieht die Lösung des Anfangswertproblems

${}v(0)=P\,$

zum zugehörigen Gradientenfeld ${}\operatorname {Grad} \,h(P)$ aus?

Aufgabe *

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem

${}v'=\operatorname {Grad} \,h(v)\,$

mit ${}v(0)=w$ ($w\in \mathbb {R} ^{2}$) zum Gradientenfeld zur Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$

Aufgabe

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem

${}v'=\operatorname {Grad} \,h(v)\,$

mit ${}v(0)=w$ (${}w\in \mathbb {R} ^{3}$) zum Gradientenfeld zur Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}-y^{2}+3yz.$

Aufgabe

Vergleiche Lemma 47.11 und Lemma 57.5.

Aufgabe

Berechne die ersten drei Iterationen der Picard-Lindelöf-Iteration zum Anfangswertproblem

$v'=\operatorname {Grad} \,h(v){\text{ und }}v(0)=\left(3,\,2\right)$

zu

${}h(x,y)=x^{3}-xy^{2}+y^{2}\,.$

Aufgabe *

Es sei

$G\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein Gradientenfeld und sei

$\varphi \colon J\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

(${}J\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ${}v'=G(v)$. Es gelte ${}\varphi '(t)\neq 0$ für alle ${}t\in J$. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgabe *

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion und

${}G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P)\,$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser ${}F$ zu ${}h$ zu zwei verschiedenen Zeitpunkten ${}t_{0}<t_{1}$ trifft. Zeige, dass ${}\varphi {|}_{[t_{0},t_{1}]}$ konstant ist.

Aufgabe *

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion und

${}G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P)\,$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei ${}t\in \mathbb {R}$ ein Zeitpunkt mit

${}\varphi '(t)=0\,.$

a) Es sei ${}h$ zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass ${}\varphi$ konstant ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) ${}\varphi$ nicht konstant sein muss.

Aufgabe *

Es sei

$F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetiges Vektorfeld, wobei die ${}i$-te Komponente nur von der ${}i$-ten Variabeln abhängen möge. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral ${}\int _{\gamma }F$ nur von ${}\gamma (a)$ und ${}\gamma (b)$ abhängt.

Aufgabe *

Fertige eine Illustration zu Beispiel 57.6 an.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto 3v^{2/3}=3{\sqrt[{3}]{v^{2}}}.$

Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung, die zum Gradientenfeld der Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y^{2},$

gehört.

Aufgabe (3 Punkte)

Welche linearen Vektorfelder

$G\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto Mv,$

sind Gradientenfelder? Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Zeige, dass ${}U$ genau dann zusammenhängend ist, wenn man je zwei Punkte ${}P,Q\in U$ durch einen stetig differenzierbaren Weg verbinden kann.

Tipp: Man denke an den Beweis von Satz 35.13.