Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Vorlesung 57

Zur Eindeutigkeit der Lösungen von Differentialgleichungen

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein stetiges Vektorfeld auf ${}U$ das lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Es sei ${}J\subseteq I$ ein offenes Teilintervall und es seien

$v_{1},v_{2}\colon J\longrightarrow V$

Lösungen des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.$

Dann ist ${}v_{1}=v_{2}$.

Beweis

Wir betrachten die Menge

${}M={\left\{t\in J\mid v_{1}(t)=v_{2}(t)\right\}}\,.$

Wegen ${}t_{0}\in M$ ist diese Menge nicht leer. Zu jedem Punkt ${}t\in I$ gibt es nach Satz 56.2 eine offene Intervallumgebung ${}t\in J'$, worauf es zu gegebener Anfangsbedingung ${}v(t)=v_{0}$ genau eine Lösung der Differentialgleichung gibt. Wenn ${}t\in M$ ist, so ist ${}v_{1}(t)=v_{2}(t)$ und daher stimmen ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ in einer offenen Umgebung ${}t\in J'$ mit der eindeutigen Lösung und damit untereinander überein. Also ist ${}J'\subseteq M$. Dies bedeutet, dass ${}M$ eine offene Teilmenge von ${}J$ ist.
Andererseits sind ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ stetig und daher ist nach Aufgabe 34.15 die Menge ${}M$ auch abgeschlossen in ${}J$.
Da ein Intervall nach Satz 35.9 zusammenhängend ist, folgt ${}M=J$.

$\Box$

Das folgende Beispiel zeigt, dass ohne die Lipschitz-Bedingung die Lösung eines Anfangswertproblems nicht eindeutig bestimmt ist. In diesem Beispiel ist das Vektorfeld nach ${}v$ ableitbar, die Ableitung ist aber nicht stetig, so dass Lemma 55.4 nicht anwendbar ist.

Beispiel

Wir betrachten das Anfangswertproblem

$v'=3v^{2/3}{\text{ mit }}v(0)=0$

zum zeitunabhängigen Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto 3v^{2/3}=3{\sqrt[{3}]{v^{2}}}.$

Offensichtlich gibt es die stationäre Lösung

${}h(t)=0\,,$

aber auch

${}g(t)=t^{3}\,$

ist eine Lösung, wie man durch Nachrechnen sofort bestätigt. Aus diesen beiden Lösungen kann man sich noch weitere Lösungen basteln. Es seien dazu ${}a<b$ reelle Zahlen. Dann ist auch

${}\varphi (t)={\begin{cases}(t-a)^{3}{\text{ für }}t<a,\\0{\text{ für }}a\leq t\leq b,\\(t-b)^{3}{\text{ für }}t>b,\end{cases}}\,$

eine Lösung. D.h. es gibt Lösungen, bei denen das Teilchen beliebig lange (im Zeitintervall von ${}a$ nach ${}b$) ruht und danach (und davor) sich bewegt. Sobald sich das Teilchen in einem Punkt ${}\neq 0$ befindet, ist der Bewegungsablauf lokal eindeutig bestimmt.

Bemerkung  

Zu einem stetigen Vektorfeld

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

kann man sich fragen, ob es ein maximales Definitionsintervall ${}J$ für die Lösung eines Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$

gibt. Dies ist in der Tat der Fall, wenn das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt! Man kann nämlich alle Teilmengen

$J\subseteq I{\text{ offen }},\,t_{0}\in J,\,{\text{ es gibt eine L}}{\ddot {o}}{\text{sung }}v_{J}{\text{ auf }}J$

betrachten. Wegen Satz 57.1 stimmen zwei Lösungen ${}v_{J}$ und ${}v_{J'}$ auf dem Durchschnitt ${}J\cap J'$ überein, und liefern daher eine eindeutige Lösung auf der Vereinigung ${}J\cup J'$. Daher enthält die Menge der Teilintervalle, auf denen eine Lösung definiert ist, ein maximales Teilintervall ${}J$.

Dieses Teilintervall kann kleiner als ${}I$ sein. Die Grenzen des maximalen Teilintervalls, auf dem eine Lösung definiert ist, heißen auch Entweichzeiten.

Ein Beispiel für ein solches Verhalten hatten wir schon in Analysis 1 kennengelernt, siehe Beispiel 30.7.

Gradientenfelder

Definition

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ offen und

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Dann nennt man die Abbildung

$U\longrightarrow V,\,P\longmapsto \operatorname {Grad} \,h(P),$

das zugehörige Gradientenfeld.

Ein Gradientenfeld ist also ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Man spricht auch von einem Potentialfeld, die Funktion ${}h$ (manchmal ${}-h$) heißt dann ein Potential des Vektorfeldes. Wenn ${}h$ zweimal stetig differenzierbar ist, so genügt nach Lemma 55.4 das zugehörige Gradientenfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung.

Die folgende Aussage zeigt, dass die Lösungskurven der zugehörigen Differentialgleichung ${}v'=\operatorname {Grad} \,h(v)$ senkrecht auf den Fasern von ${}h$ liegen. Die Fasern beschreiben, wo das Potential (oder die Höhenfunktion) konstant ist, die Lösungen beschreiben nach Satz 47.8 den Weg des steilsten Anstiegs. Wenn ${}h$ beispielsweise die Höhenfunktion eines Gebirges ist, so gibt das Gradientenfeld in jedem Punkt den steilsten Anstieg an und die Trajektorie einer Lösungskurve beschreibt den Verlauf eines Baches (wir behaupten nicht, dass die Bewegung eines Wassermoleküls im Bach durch diese Differentialgleichung bestimmt ist, sondern lediglich, dass der zurückgelegte Weg, also das Bild der Kurve, mit dem Bild der Lösungskurve übereinstimmt). Der Bach verläuft immer senkrecht zu den Höhenlinien.

Lemma

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ offen,

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion und

$U\longrightarrow V,\,P\longmapsto G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P),$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

$\varphi \colon J\longrightarrow U$

eine Lösung der Differentialgleichung

${}v'=G(v)\,.$

Dann steht ${}\varphi '(t)$ senkrecht auf dem Tangentialraum ${}T_{\varphi (t)}F$ der Faser ${}F$ von ${}h$ durch ${}\varphi (t)$ für ${}t\in J$, für die ${}\varphi (t)$ reguläre Punkte von ${}h$ sind.

Beweis

Sei ${}P=\varphi (t)$ ein regulärer Punkt von ${}h$ und sei ${}v\in T_{P}F=\operatorname {kern} \left(Dh\right)_{P}$ ein Vektor aus dem Tangentialraum. Dann gilt direkt

${}\left\langle v,\varphi '(t)\right\rangle =\left\langle v,G(\varphi (t))\right\rangle =\left\langle v,\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle ={\left(Dh\right)}_{P}{\left(v\right)}=0\,.$

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Produktabbildung

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy.$

Das zugehörige Gradientenfeld ist

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto G(x,y)=(y,x).$

Die Fasern von ${}h$ sind das Achsenkreuz (die Faser über ${}0$) und die durch ${}xy=c$, ${}c\neq 0$, gegebenen Hyperbeln. Die Lösungen der linearen Differentialgleichung

${}{\begin{pmatrix}\varphi _{1}'\\\varphi _{2}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varphi _{2}\\\varphi _{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\end{pmatrix}}\,$

sind von der Form

${}\varphi (t)=(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t))=(a\cosh t+b\sinh t,a\sinh t+b\cosh t)\,$

mit beliebigen ${}a,b\in \mathbb {R}$, wie man direkt nachrechnet und was sich auch aus Lemma 42.1 bzw. Aufgabe 42.11 ergibt. Dabei ist ${}\varphi (0)=(a,b)$. Für ${}a=b=0$ ist dies die stationäre Lösung im Nullpunkt, in dem die Produktabbildung nicht regulär ist. Bei ${}a=b=1$ ist ${}\varphi (t)=(e^{t},e^{t})$, das Bild dieser Lösung ist die obere Halbdiagonale (ohne den Nullpunkt), bei ${}a=b=-1$ ist ${}\varphi (t)=(-e^{t},-e^{t})$, das Bild dieser Lösung ist die untere Halbdiagonale, bei ${}a=1$ und ${}b=-1$ ist ${}\varphi (t)=(e^{-t},-e^{-t})$, das Bild dieser Lösung ist die untere Hälfte der Nebendiagonalen, bei ${}a=-1$ und ${}b=1$ ist ${}\varphi (t)=(-e^{-t},e^{-t})$, das Bild dieser Lösung ist die obere Hälfte der Nebendiagonalen.

Ansonsten treffen die Lösungskurven das Achsenkreuz in einem Punkt ${}\neq (0,0)$. Wenn man diesen Punkt als Anfangswert zum Zeitpunkt ${}t=0$ nimmt, so kann man die Lösungskurven als

$(a\cosh t,a\sinh t)$

(zum Zeitpunkt $t=0$ befindet sich die Lösung auf der ${}x-$Achse im Punkt $(a,0)$),

und als

$(b\sinh t,b\cosh t)$

(zum Zeitpunkt ${}t=0$ befindet sich die Lösung auf der ${}y-$Achse im Punkt $(0,b)$) realisieren. Die Bahnen dieser Lösungen erfüllen die Gleichung ${}x^{2}(t)-y^{2}(t)=a^{2}$ bzw. ${}x^{2}(t)-y^{2}(t)=b^{2}$, d.h. sie sind selbst Hyperbeln.

Bemerkung  

Jedes stetige zeitunabhängige eindimensionale Vektorfeld ist ein Gradientenfeld. Ein solches Vektorfeld ist ja durch eine Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem offenen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ gegeben. Mit einer Stammfunktion

$h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

zu ${}f$ kann man

${}f(P)=\operatorname {Grad} \,h(P)\,$

schreiben. Für einen regulären Punkt zu ${}h$ ist das totale Differential injektiv und daher ist der Tangentialraum an der Faser der Nullraum. In diesem Fall ist also Lemma 57.5 ohne Relevanz.

Wegintegrale und Gradientenfelder

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld ${}G=\operatorname {Grad} \,h$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg in ${}U$.

Dann gilt für das Wegintegral

${}\int _{\gamma }G=h(\gamma (b))-h(\gamma (a))\,.$

D.h. das Wegintegral hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges ab.

Beweis

Aufgrund der Kettenregel ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }G&=\int _{a}^{b}\left\langle G(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}G_{i}(\gamma (t))\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(\gamma (t))\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\int _{a}^{b}(h\circ \gamma )^{\prime }(t)dt\\&=h(\gamma (b))-h(\gamma (a)).\end{aligned}}$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld ${}G=\operatorname {Grad} \,h$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg mit ${}\gamma (a)=\gamma (b)$.

Dann ist

${}\int _{\gamma }G=0\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 57.8.

$\Box$

Satz

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge und

$G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetiges Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}G$ ist ein Gradientenfeld.
2. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral ${}\int _{\gamma }G$ nur vom Anfangspunkt ${}\gamma (a)$ und Endpunkt ${}\gamma (b)$ ab.

Beweis

Die Implikation ${}(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Lemma 57.8.
Es sei umgekehrt die Eigenschaft ${}(2)$ erfüllt. Wir geben eine auf ${}U$ definierte Funktion ${}h$ an, die differenzierbar ist und deren Gradientenfeld gleich dem vorgegebenen Vektorfeld ist. Dazu sei ein Punkt ${}P\in U$ fixiert. Für jeden Punkt ${}Q\in U$ gibt es einen stetig differenzierbaren Weg

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

mit ${}\gamma (a)=P$ und ${}\gamma (b)=Q$. Wir setzen

${}h(Q):=\int _{\gamma }G\,.$

Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist ${}h(Q)$ wohldefiniert. Wir müssen zeigen, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt ${}Q\in U$ und in jede Richtung ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ differenzierbar ist und die Richtungsableitung mit ${}\left\langle G(Q),v\right\rangle$ übereinstimmt. Dazu betrachten wir

${}h(Q+tv)-h(Q)=\int _{\delta }G=\int _{0}^{t}\left\langle G(Q+sv),v\right\rangle ds=\int _{0}^{t}\sum _{i=1}^{n}G_{i}(Q+sv)\cdot v_{i}ds\,,$

wobei ${}\delta$ der verbindende lineare Weg von ${}Q$ nach ${}Q+tv$ auf ${}[0,t]$ sei (und ${}t$ hinreichend klein sei, damit ${}Q+tv\in U$ ist). Für den Differentialquotienten ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {h(Q+tv)-h(Q)}{t}}&=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}G_{i}(Q+sv)\cdot v_{i}ds\\&=\sum _{i=1}^{n}G_{i}(Q)\cdot v_{i}\\&=\left\langle G(Q),v\right\rangle .\end{aligned}}$

Somit existiert die Richtungsableitung von ${}h$ in Richtung ${}v$ und hängt stetig von ${}Q$ ab. Diese Gleichung zeigt ferner

${}{\left(Dh\right)}_{Q}{\left(v\right)}={\left(D_{v}h\right)}{\left(Q\right)}=\left\langle G(Q),v\right\rangle \,,$

sodass ${}G$ das Gradientenfeld zu ${}h$ ist.

$\Box$

Fußnoten

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