Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 58

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

$f\colon \mathbb {R} \times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{i}y^{j}.$

Wir setzen

$\varphi (x)=\int _{a}^{b}x^{i}y^{j}dy.$

Berechne ${}\varphi '(x)$ auf zwei unterschiedliche Weisen.

Aufgabe

Bestätige Satz 58.3 für die Funktion

$f\colon [1,2]\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto e^{xt}.$

Aufgabe

Es sei

${}f(x,y)=x^{3}-yx^{2}+7\sin y\,.$

Berechne die Integrale zum Parameter ${}y\in [0,\pi ]$ über ${}x\in [0,1]$ und zum Parameter ${}x\in [0,1]$ über ${}y\in [0,\pi ]$. Bestimme jeweils die extremalen Integrale.

Die Himmelsscheibe von Nebra. Ist die Mondsichel darauf sternförmig?

Aufgabe

Betrachte zu ${}r,s\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}r+s>1$ und ${}s<r+1$ die „sichelförmige“ Menge

$M_{r,s}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r,\,{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}\geq s\right\}}.$

Für welche ${}r,s$ ist diese Menge sternförmig?

Aufgabe

Zeige, dass eine sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ zusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ genau dann ein (nichtleeres) Intervall ist, wenn ${}T$ sternförmig ist.

Aufgabe

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{k}$ ($k\geq 1$) endlich viele Punkte im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\}$ nicht sternförmig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine offene, sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für zwei sternförmige Mengen ${}S,T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ mit der Eigenschaft, dass ihr Durchschnitt ${}S\cap T$ zusammenhängend (insbesondere nicht leer) und nicht sternförmig ist.

Aufgabe

Skizziere den Graphen einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

mit der Eigenschaft, dass der Subgraph ${}{\left\{(x,y)\mid x\in \mathbb {R} ,\,0\leq y\leq f(x)\right\}}$ nicht konvex, aber sternförmig ist.

Aufgabe *

Wir betrachten den Subgraphen zur positiven Standardparabel, also

${}S={\left\{(x,y)\mid x\in \mathbb {R} _{\geq 0},\,0\leq y\leq x^{2}\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}S$ nicht sternförmig ist.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine wachsende Funktion. Zeige, dass der Subgraph

${}S={\left\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,\,0\leq y\leq f(x)\right\}}\,$

sternförmig ist.

Aufgabe

Überprüfe, ob das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {-2x^{2}+2y^{4}}{{\left(x^{2}+y^{4}\right)}^{2}}},\,{\frac {8xy^{3}}{{\left(x^{2}+y^{4}\right)}^{2}}}\right),$

die Integrabilitätsbedingung erfüllt oder nicht.

Aufgabe

Überprüfe, ob das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {-2x^{2}+2y^{4}}{{\left(x^{3}+y^{3}\right)}^{2}}},\,{\frac {8xy^{3}}{{\left(x^{3}+y^{3}\right)}^{2}}}\right),$

die Integrabilitätsbedingung erfüllt oder nicht.

Aufgabe

Zeige, dass das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left(2x-y\cos x,\,-\sin x\right),$

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.

Ob ein Vektorfeld auf ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.

Zu einem partiell differenzierbaren Vektorfeld

$G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ nennt man

${}\operatorname {rot} _{}^{}{\left(G\right)}(P):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{2}}}(P)-{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{3}}}(P)\\{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{3}}}(P)-{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{1}}}(P)\\{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{1}}}(P)-{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{2}}}(P)\end{pmatrix}}\,$

die Rotation von ${}G$.

Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.

Aufgabe

Es sei ${}G\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$. Zeige, dass ${}G$ genau dann die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn ${}\operatorname {rot} _{}^{}{\left(G\right)}=0$ ist.

Aufgabe

Berechne zum Vektorfeld

$G\colon {\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x,y,z\neq 0\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{3}-z^{2},\,{\frac {xy}{z}},\,{\frac {z}{x^{2}y}}\right)$

die Rotation.

Aufgabe *

Wir betrachten das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

${}G(x,y)=(y,-x^{3})\,$

Zeige auf zweifache Weise, dass ${}G$ kein Gradientenfeld ist.

1. Mit der Integrabilitätsbedingung.
2. Mit Wegintegralen.

Aufgabe *

Wir betrachten das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(y-\cos \left(x+z\right),\,x,\,2z-\cos \left(x+z\right)\right).$

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ${}G$ ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu ${}G$.

Aufgabe *

Wir betrachten das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{>0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(ye^{xy}+\ln z,\,xe^{xy}-2yz,\,{\frac {x}{z}}-y^{2}\right).$

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ${}G$ ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu ${}G$.

Aufgabe *

1. Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine zusammenhängende offene Menge und sei ${}G\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ ein Gradientenfeld auf ${}U$. Zeige, dass das Potential zu ${}G$ bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
2. Es seien ${}S,T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene sternförmige Mengen mit der Eigenschaft, dass ${}S\cap T$ zusammenhängend ist. Es sei

   $G\colon S\cup T\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Zeige, dass ${}G$ ein Gradientenfeld ist.

Aufgabe *

Es sei

$F\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und es sei

${}\rho (P):={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(P)\,.$

Zeige

${}\rho (P)={\frac {1}{\pi }}\cdot \operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\int _{\gamma _{\epsilon }}F\,,$

wobei ${}\gamma _{\epsilon }$ den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um ${}P$ mit Radius ${}\epsilon$ bezeichnet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

der Subgraph und ob der Epigraph sternförmig ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine sternförmige Teilmenge. Zeige, dass auch der Abschluss ${}{\overline {T}}$ sternförmig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(ye^{z}-3x^{2}z,\,xe^{z}+2yz,\,xye^{z}+y^{2}-x^{3}\right),$

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne zum Vektorfeld

$G\colon {\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x,y\neq 0,\,z>0\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left({\frac {e^{3x}-z}{y}},\,{\frac {\cos x}{z^{2}}},\,{\frac {\ln z}{xy}}\right)$

die Rotation.