Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 56

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Finde eine Lösung ${}v\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ für die Integralgleichung

${}v(t)=1+\int _{0}^{t}v(s)ds\,.$

Aufgabe *

Finde eine Lösung ${}v\colon \mathbb {R} _{+}\rightarrow \mathbb {R}$ für die Integralgleichung

${}v(t)=-1+\int _{1}^{t}v(s)^{2}ds\,.$

Aufgabe

Formuliere Eigenschaften für Differentialgleichungen wie zeitunabhängig, ortsunabhängig, getrennte Variablen, linear um für die zugehörigen Integralgleichungen.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume. Zeige, dass die Menge ${}C$ der stetigen Abbildungen von ${}L$ nach ${}M$ durch

${}d(f,g):={\min {\left({\operatorname {sup} \,(d(f(x),g(x)),x\in L)},1\right)}}\,$

zu einem metrischen Raum wird.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume, wobei ${}M$ vollständig sei. Zeige, dass die Menge ${}C$ der stetigen Abbildungen von ${}L$ nach ${}M$ durch

${}d(f,g):={\min {\left({\operatorname {sup} \,(d(f(x),g(x)),x\in L)},1\right)}}\,$

zu einem vollständigen metrischen Raum wird.

Aufgabe *

Es sei

${}b\geq 1\geq a>0\,$

fixiert und sei

${}M={\left\{f:[a,b]\rightarrow [a,b]\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.$

a) Zeige, dass die Abbildung

$H\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto H(f)={\sqrt {f}},$

wohldefiniert ist.

b) Es sei nun zusätzlich ${}a>{\frac {1}{4}}$. Zeige, dass die Abbildung ${}H$ aus a) eine starke Kontraktion ist (wobei ${}M$ mit der Maximumsnorm versehen sei).

c) Zeige, dass ${}M$ durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird.

d) Bestimme den Fixpunkt von ${}H$.

Aufgabe

Es sei

$f\colon I\times U\longrightarrow V$

ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge ${}U\subseteq V$ eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei ${}W\subseteq V$ ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle ${}t\in I$ und ${}P\in U\cap W$ die Beziehung ${}f(t,P)\in W$ gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w\in U\cap W$

ganz in ${}W$ verläuft.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=y+1{\text{ mit }}y(0)=0.$

mit der Picard-Lindelöf-Iteration.

Aufgabe *

Bestimme für das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=y{\text{ mit }}y(0)=1$

explizite Formeln für die Picard-Lindelöf-Iterationen.

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 56.5 eine explizite Formel für die Iterationen ${}\varphi _{n}$.

Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=y^{2}+t+yt^{2}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}y(0)=0$.

Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-1&3\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=2$ und ${}y(0)=-7$.

Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t&3\\1&t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=0$ und ${}y(0)=1$.

Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-t&t^{2}\\2&t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=1$ und ${}y(0)=-1$.

Aufgabe

Wogegen konvergiert die Picard-Lindelöf-Itertion in der Situation von Bemerkung 56.6, wenn ${}w$ ein Eigenvektor von ${}M$ ist?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,u,v)\longmapsto (t^{2}uv,u^{2}-tv^{2}).$

Bestimme für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes

$f_{t}\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(u,v)\longmapsto (t^{2}uv,u^{2}-tv^{2}).$

Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(1)=(3,2,6)$

zum ortsunabhängigen Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(t,x,y,z)\longmapsto t^{3}(3,1,4)-e^{-2t}(2,-1,7)+(t-t^{2}e^{t})(0,4,5)+(2,2,2).$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=4$ und ${}y(0)=5$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t^{2}&-1\\t&t^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=1$ und ${}y(0)=1$.