Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 55

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und sei

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei ${}t\in I$ ein Punkt mit ${}\gamma '(t)\neq 0$. Zeige auf zweifache Weise, dass es ein offenes Intervall ${}t\in J\subseteq I$ derart gibt, dass ${}\gamma {|}_{J}$ injektiv ist.

1. Mit dem Satz über die injektive Abbildung.
2. Direkt.

Aufgabe *

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(s,t)\longmapsto (s,-s-t^{2},t^{3})=(x,y,z).$

a) Erstelle die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$.

b) Bestimme die regulären Punkte ${}(s,t)$ von ${}\varphi$.

c) Zeige, dass ${}\varphi (s,t)$ die Bedingung

${}(x+y)^{3}+z^{2}=0\,$

erfüllt.

d) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.

Aufgabe *

Es sei

${}U=(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} )\setminus \{(2,4),(4,2)\}\,.$

Begründe, ob die Abbildung

$\varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy,x^{y})=(u,v,w).$

injektiv ist oder nicht.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn ${}f$ (als Abbildung) Lipschitz-stetig ist, so genügt das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung.

b) Wenn das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, so sind für jedes feste ${}t\in I$ die Abbildungen

$U\longrightarrow V,\,v\longmapsto f(t,v),$

Lipschitz-stetig.

c) Man gebe Beispiele, die zeigen, dass die Implikationen aus a) und b) nicht umkehrbar sind.

Aufgabe

Es sei

${}M={\left\{f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} \mid {\text{unendlich oft differenzierbar}}\right\}}\,,$

versehen mit der durch die Supremumsnorm gegebenen Metrik. Zeige, dass die Ableitung

$M\longrightarrow M,\,f\longmapsto f',$

keine starke Kontraktion ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$, die gegen ${}x\in M$ konvergiert. Es sei ${}T$ eine Menge und es seien

$f_{n}\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f_{n}(t)=x_{n},$

die zu ${}x_{n}$ gehörenden konstanten Funktionen. Zeige, dass die Funktionenfolge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig gegen die konstante Funktion

$f\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f(t)=x,$

konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine endliche Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow X$

eine Abbildungsfolge in einen metrischen Raum ${}X$. Zeige, dass diese Folge genau dann punktweise konvergiert, wenn sie gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}(Y,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq Y$ eine Teilmenge. Es sei ${}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\overline {T}}$ und

$g_{n}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von stetigen Funktionen. Zeige, dass diese Folge genau dann gleichmäßig konvergiert, wenn die auf ${}T$ eingeschränkte Folge ${}f_{n}=g_{n}{|}_{T}$ gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und ${}E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei ${}M=\operatorname {Abb} \,(T,E)$ versehen mit der Supremumsnorm. Beweise die folgenden Eigenschaften für diese „Norm“ (dabei ist der Wert ${}\infty$ erlaubt und sinnvoll zu interpretieren).

1. ${}\Vert {f}\Vert \geq 0$ für alle ${}f\in M$.
2. ${}\Vert {f}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in \mathbb {R}$ und ${}f\in M$ gilt

   ${}\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.$

4. Für ${}g,f\in M$ gilt

   ${}\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.$

Aufgabe

Es sei

$C=C^{0}([0,1],\mathbb {R} )$

die Menge der stetigen Funktionen, die mit der Supremumsnorm versehen sei. Skizziere zu ${}\epsilon >0$ die offene und die abgeschlossene ${}\epsilon$-Umgebung von einem ${}f\in C$.

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum. Eine Abbildung

$\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle ${}v,w\in V$ gelten.

1. Es ist ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$ für alle ${}v\in V$.
2. Es ist ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ und ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für ${}v,w\in V$ gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

Die Norm zu einem Skalarprodukt erfüllt diese Eigenschaften.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und ${}E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei

${}M={\left\{f:T\rightarrow E\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf ${}M$ eine Norm ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein normierter ${}\mathbb {R}$- Vektorraum durch

${}d(u,v):=\Vert {u-v}\Vert \,$

zu einem metrischen Raum wird.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge, ${}E$ ein euklidischer Vektorraum und

${}M={\left\{f:T\rightarrow E\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$. Zeige, dass eine Folge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ aus ${}M$ genau dann gegen ${}f\in M$ gleichmäßig konvergiert, wenn diese Folge im durch die Supremumsnorm gegebenen metrischen Raum ${}M$ konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare reguläre Kurve. Zeige, dass die Faser über jedem Punkt ${}c\in \mathbb {R} ^{n}$ endlich ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine in ${}P\in G$ total differenzierbare Abbildung mit injektivem totalen Differential. Zeige, dass es eine offene Umgebung ${}U$ von ${}P$ mit ${}\varphi ^{-1}(\varphi (P))\cap U=\{P\}$ gibt.

Tipp: Betrachte das totale Differential auf der Einheitssphäre. Der Satz über die injektive Abbildung ist hier nicht anwendbar.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und ${}E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei ${}C=C^{0}(T,E)$ der Raum der stetigen Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$, versehen mit der Supremumsnorm. Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in T$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}\in E$ Punkte. Zeige, dass die Teilmenge

${\left\{f\in C\mid f(x_{1})=y_{1},\ldots ,f(x_{n})=y_{n}\right\}}$

abgeschlossen in ${}C$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M_{k}=({(a_{ij}})_{k})_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$ eine Folge von reellen ${}m\times n$-Matrizen und

$\varphi _{k}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

die zugehörige Folge von linearen Abbildungen. Zeige, dass die Folgen der Einträge ${}({a_{ij}})_{k}$ für alle ${}i,j$ genau dann konvergieren, wenn die Folge der Abbildungen punktweise konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine Folge von Abbildungen. Zeige, dass ${}f_{n}$ genau dann gegen eine Grenzabbildung

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

gleichmäßig konvergiert, wenn die Komponentenfunktionen ${}(f_{i})_{n}$ gleichmäßig gegen ${}f_{i}$ konvergieren.