Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 54

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es seien ${}L,L_{1},\ldots ,L_{m}$ Linearformen auf ${}V$. Zeige, dass die Beziehung

${}\bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} L_{i}\subseteq \operatorname {kern} L\,$

genau dann gilt, wenn ${}L$ zu dem von den ${}L_{1},\ldots ,L_{m}$ erzeugten Untervektorraum (im Dualraum) gehört.

Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${}h(x,y)=5x+3y\,$

auf der Ellipse

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 2x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$

Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${}h(x,y)=x^{2}y^{3}\,$

unter der Nebenbedingung

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 4x+7y=100\right\}}\,.$

Aufgabe *

Für eine Party soll eine Bowle gemischt werden, wobei ${}100$ Euro zur Verfügung stehen. Die Zutaten sind Orangensaft, Erdbeeren, Rum und Sekt. Die Preisfunktion ist

$\mathbb {R} _{+}^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z,w)\longmapsto x+y+5z+3w.$

Die Stimmungsfunktion ${}h$ wird durch

$h\colon \mathbb {R} _{+}^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z,w)\longmapsto x^{3}y{\sqrt {z}}w,$

beschrieben. Bei welchem Mischungsverhältnis wird die Stimmung optimiert? (Es genügt, den (die) kritischen Punkt(e) für die Lagrange-Bedingung auszurechnen).

Aufgabe

Man beweise die Formel aus Beispiel 54.6, indem man den durch die Linearform ${}f$ gegebenen affinen Unterraum linear parametrisiert und das Optimierungsproblem für ${}h$ auf dem zugehörigen ${}\mathbb {R} ^{n-1}$ betrachtet.

Man löse die folgende Aufgabe direkt und als eine Extremwertaufgabe unter Nebenbedingungen.

Aufgabe

Für welche Punkte ${}(t,t^{2})$ der Standardparabel wird der Abstand zum Punkt ${}(0,1)$ minimal?

Aufgabe

Bestimme sämtliche Tangenten an die Hyperbel

${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=1\right\}}.$

Aufgabe

Zeige, dass durch

$[0,2\pi [\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(\cos ^{3}t,\,\sin ^{3}t\right),$

eine bijektive Parametrisierung der Standardastroide

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}\,$

gegeben ist.

Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${}h(x,y)=x\,$

auf der Standardastroide

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}\,.$

Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${}h(x,y)=x\,$

auf der Standardastroide

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}\,$

unter Verwendung der durch ${}(x,y)=\left(\cos ^{3}t,\,\sin ^{3}t\right)$ gegebenen Parametrisierung (siehe Aufgabe 54.8) von ${}M$.

Aufgabe

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${}f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,$

auf

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=20\right\}}\,.$

Aufgabe

Bestimme die globalen Extrema der Funktion

${}f(x,y)=x^{4}+y^{4}-8(x^{2}+y^{2})\,$

auf

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 9\right\}}\,.$

Aufgabe

Bestimme die globalen Extrema der Funktion

${}f(x,y)=2x^{2}+y^{2}-x\,$

auf

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\,.$

Aufgabe *

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${}h(x,y)=3x-7y\,$

auf der Ellipse

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x^{2}+2y^{2}=1\right\}}\,.$

Aufgabe *

Es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion.

a) Zeige, dass ${}g$ in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion

$y\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y,$

auf den Graphen

${}\Gamma ={\left\{(x,y)\mid y=g(x)\right\}}\,$

im Punkt ${}(a,g(a))$ ein lokales Maximum besitzt.

b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung?

c) Man gebe ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen

$f,h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

und einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ derart, dass ${}\left(Df\right)_{P}$ und ${}\left(Dh\right)_{P}$ linear abhängig sind und dass ${}h$ auf der Faser zu ${}f$ durch ${}P$ kein lokales Extremum besitzt.

Aufgabe *

Es soll eine (quaderförmige) Schachtel mit den Seitenlängen ${}a,b,c\in \mathbb {R} _{+}$ angefertigt werden, deren Inhalt gleich

${}abc=1000\,{\rm {{cm}^{3}\,}}$

sein soll.

a) Wie müssen ${}a,b,c,$ gewählt werden, damit der Materialaufwand für die sechs Seiten kritisch (also extremal sein könnte) wird?

b) Ist der Materialaufwand unter der in a) beschriebenen Situation minimal oder maximal?

c) Für die Luxusversion der Schachtel aus Teil a) soll die kleinste Seitenfläche (vorne und hinten) mit einer Goldfolie bedeckt werden. Die Materialkosten für eine solche Seite sind dreimal so hoch wie für eine normale Seite. Für welche Seitenlängen sind nun die Materialkosten extremal?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${}h(x,y,z)=3x+4y+2z\,$

auf dem Ellipsoid

${}M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+3z^{2}=4\right\}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme sämtliche Tangenten an die Astroide

${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}.$

Aufgabe (6 (1+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten im Einheitswürfel ${}E=[-1,1]^{3}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eingeschriebene Vierecke mit den Eckpunkten ($-1\leq a,b\leq 1$)

$(1,a,-1),\,(b,1,-1),\,(-1,-a,1),\,(-b,-1,1).$

1. Zeige, dass die vier Punkte in einer Ebene liegen.
2. Unter welcher Bedingung an ${}a,b$ handelt es sich um ein Raute?
3. Unter welcher Bedingung an ${}a,b$ handelt es sich um ein Quadrat?
4. Für welche ${}a,b$ erhält man eine Raute mit maximalem Flächeninhalt?

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen derart, dass die Nullfasern ${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} \mid f(x,y)=0\right\}}$ und ${}N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} \mid g(x,y)=0\right\}}$ disjunkt sind und beide nur reguläre Punkte besitzen. Es sei

$(P,Q)\in M\times N\subseteq \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$

ein Punktepaar, für das der Abstand zwischen solchen Punkten minimal wird. Zeige, dass die zugehörigen Tangenten parallel sind.