Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 53

Übungsaufgaben

Aufgabe

Formuliere und beweise den „Satz über die surjektive Abbildung“.

Aufgabe

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-x^{2}-2x+2.$

Für welche Punkte ${}P\in \mathbb {R}$ ist ${}\varphi$ regulär? Was besagt der Satz über implizite Abbildungen in dieser Situation? Wie sieht lokal die Faser in einem regulären Punkt aus? Kann es leere Fasern geben? Bestimme die Faser über ${}0$.

Aufgabe

Was besagt der Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer stetig differenzierbaren Funktion ${}\varphi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$? Für welche Punkte ${}P\in \mathbb {R}$ sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt? Wie sieht es aus, wenn ${}\varphi$ ein Polynom ist?

Aufgabe

Was besagt der Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer stetig differenzierbaren Funktion ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$? Für welche Punkte ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

zwei stetig differenzierbare Funktionen, deren Ableitungen ${}f'$ und ${}g'$ stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x)+g(y),$

stetig differenzierbar und in jedem Punkt regulär ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der Fasern von ${}\varphi$ als Graph an.

Aufgabe

Beschreibe die Fasern der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy.$

Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen ${}\mathbb {R}$ und den Fasern von ${}\varphi$ an.

Aufgabe

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy.$

Aufgabe

Beschreibe die Fasern der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$

Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen offenen Intervallen ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und (möglichst großen) offenen Teilmengen der Fasern von ${}\varphi$ an.

Kommentar:

Den Graphen dieser Funktion kann man sich als runde Schale vorstellen, die auf der ${}x$-${}y$-Ebene steht und nur im Punkt ${}(0,0)$ berührt (sie wird aber immer breiter und ist unendlich hoch). Eine Faser der Funktion ist dann die Schnittmenge dieser Schale mit einer horizontalen Ebene (parallel zur ${}x$-${}y$-Ebene) in einer festen Höhe. Für positive Höhen ist ein Schnitt durch die Schale ein Kreis. In der Höhe Null also die ${}x$-${}y$-Ebene selbst, trifft nur den einen Punkt der Schale, der, der diese berührt. In negativen Höhen wird die Schale gar nicht getroffen, die Fasern sind dann leer. Mathematisch ausgedrückt ist für festes ${}a\in \mathbb {R}$ (oben als Höhe bezeichnet) die Faser über ${}a$ (oben als Schnittmenge in der Höhe bezeichnet) gegeben durch die Menge

$\lbrace (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,\vert \,x^{2}+y^{2}=a\rbrace .$

Für ${}a>0$ sieht man durch Wurzelziehen, dass ${}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {a}}$ die Kreisgleichung ist. Demnach sind die Fasern dann Kreise um den Ursprung mit Radius ${}{\sqrt {a}}$. Da ${}x^{2}+y^{2}$ aufgrund der Quadrate nie negativ wird, sind die Fasern für negative ${}a$ leer. Die Frage nach den Diffeomorphismen braucht hierfür also nicht beantwortet werden. Für ${}x^{2}+y^{2}=a=0$ müssen ${}x$ und ${}y$ null sein. Die Faser besteht demnach nur aus dem Punkt ${}(0,0)$. Damit eine Abbildung von einem Intervall ${}I\subset \mathbb {R}$ nach ${}(0,0)$ bijektiv (das ist ein Diffeomorphismus) sein kann, darf ${}I$ nur ein Punkt sein. Dann ist ${}I$ aber nicht mehr offen und die Definition eines Diffeomorphismus nicht mehr möglich. Das passt übrigens gut in den Zusammenhang mit Satz 53.5 über Implizite Abbildungen. Unsere Abbildung ist differenzierbar. Das totale Differential von ${}\varphi$ ist gegeben durch ${}\left(D\varphi \right)_{(x,y)}=(2x,2y)$ und damit regulär genau dann wenn ${}(x,y)\neq (0,0)$. Damit ist er auch im ${}(0,0)$ nicht anwendbar und oben haben wir direkt gesehen, dass auch kein Diffeomorphismus existieren kann. (Achtung! Nur weil der Satz nicht anwendbar ist, heißt es nicht, dass es so einen Diffeomorphismus nicht geben kann. Er ist nämlich von der Bauart, wenn gewisse Voraussetzungen erfüllt sind, dann existiert ein Diffeomorphismus.) Das totale Differential von ${}\varphi$ ist aber regulär in jedem Punkt ${}(x,y)\neq (0,0)$ und von daher ist der Satz anwendbar für jede Faser über ${}a>0$. Für festes ${}a>0$ und jedem Punkt P aus der Faser existieren offene Mengen ${}W\subset \mathbb {R}$, ${}P\in W$, und ${}V\subset \mathbb {R} ^{2-1}$ und ein Diffeomorphismus ${}\psi \colon V\to W$. Dieser kann jetzt durch lokales Auflösen gefunden werden. Wenn beispielsweise ${}P=(0,2)$, dann ist ${}\varphi (P)=\varphi (0,2)=4=a$. Die Faser über ${}a$ bzw. die Faser, die dann durch ${}P$ geht ist der Kreis mit Radius ${}2$, bzw. die Menge

$\lbrace (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,\vert \,x^{2}+y^{2}=4\rbrace .$

Lokal um ${}P=(0,2)$ kann ich diese dann nach ${}y$ auflösen zu ${}y=f(x)={\sqrt {4-x^{2}}}$. Diese Funktion ist diffeomorph in einem offenen Intervall um ${}x=0$, genauer ${}I=(-2,2)$. Was wir hier gemacht haben, ist den oberen Halbkreis durch den Graph von ${}f$ dargestellt. So viel dazu Diffeomorphismen zu finden. Jetzt sollen wir aber Diffeomorphismen finden, die möglichst große offene Teilmengen der Fasern abdecken abdecken. Oben haben wir nur den Halbkreis abgedeckt. Beispiel 52.5 zeigt aber, dass der gesamte Kreis (die gesamte Faser), bis auf einen Punkt getroffen werden kann. Dort werden trigonometrische Funktionen für den Diffeomorphismus verwendet. Es muss beachtet werden, dass wir den dortigen Diffeomorphismus hier für festen Radius ${}r={\sqrt {a}}$ verwenden können.

 

Aufgabe

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$

Aufgabe

Finde für die folgenden Kurven

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

Abbildungen

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass das Bild von ${}\gamma$ genau die Faser von ${}\varphi$ über ${}0$ ist.

1. ${}\gamma (t)=(t,t^{3})$.
2. ${}\gamma (t)=(t^{3},t^{3}+1)$.
3. ${}\gamma (t)=(\cos t,\sin t)$.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion.

a) Realisiere den Graphen von ${}f$ als Faser zu einer Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

über ${}0$.

b) Es sei ${}f$ stetig differenzierbar. Zeige, dass die Punkte auf dem Graphen von ${}f$ regulär sind.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

Man fertige eine Skizze an, die die Fasern, die Tangentialräume und lokale Diffeomorphismen zwischen Tangentialraum und Faser sichtbar macht.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{y}.$

Man fertige Skizzen für den (1) Graph und (2) die Fasern und die Tangentialräume dieser Abbildung an.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetige Abbildung und ${}F\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Faser über ${}P\in \mathbb {R} ^{m}$. Zeige, dass es auch eine stetige Abbildung

$\psi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

derart gibt, dass ${}F$ die Faser von ${}\psi$ über einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass es eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

in einen weiteren reellen endlichdimensionalen Vektorraum ${}W$ derart gibt, dass ${}U$ die Faser über ${}0\in W$ ist und dass ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}v\in V$ regulär ist.

Aufgabe

Ein Fußballfeld soll in einen Park mit Erhebungen und mit Senken umgewandelt werden. Dabei sollen die Linien unverändert bleiben und alle anderen Punkte sollen ihre Höhe ändern. Ist dabei jede Vorgabe, welche umrandeten Gebiete erhöht oder gesenkt werden sollen, möglich? Ist jedes solche Vorhaben durch eine stetige oder eine differenzierbare Höhenfunktion durchführbar? Können im differenzierbaren Fall alle Punkte regulär sein?

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ${}P\in G$ ein surjektives totales Differential besitze. Es sei

$\psi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

(mit ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ offen) ein lokaler Diffeomorphismus auf die Faser durch ${}P$, bei dem ${}Q\in U$ auf ${}P$ abgebildet wird. Zeige, dass man den Tangentialraum an die Faser durch ${}P$ auch als

${\left\{P+{\left(D\psi \right)}_{Q}{\left(u\right)}\mid u\in \mathbb {R} ^{n-m}\right\}}$

beschreiben kann.

Kommentar:

Nach Definition des Tangentialraums ist er in einem Punkt ${}P$ definiert, in dem das totale Differential der ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv ist und gehört zu der Faser ${}Y$ durch ${}P$. Insbesondere ist wegen der Surjektivität ${}P$ dann ein regulärer Punkt und es muss ${}m\leq n$ sein. Der Tangentialraum an ${}Y$ in ${}P$ ist gegeben durch (in der affinen Darstellung wie in der Vorlesung 54 nach Definition 53.7 besprochen)

${}P+\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}={\left\{P+v\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}\,.$

Jetzt ist ein Diffeomorphismus ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n-m},\psi \colon U\to \mathbb {R} ^{n}$ gegeben, dessen Bild die Faser ${}Y$ in einer Umgebung um ${}P$ ist. Der Punkt, der von ihr auf ${}P$ abgebildet wird, wird ${}Q$ genannt, d.h. ${}\psi (Q)=P$. Wir sollen nun zeigen, dass der obige Tangentialraum mit Hilfe des Differentials von ${}\psi$ im Punkt ${}Q$ beschrieben werden kann. Intuitiv kann es schnell eingesehen werden, da bereits in der Vorlesung der Tangentialraum einer Faser im entsprechenden Punkt als die lineare Approximation dieser Faser nahe des Punktes verstanden werden kann. Jetzt beschreibt ${}\psi$ gerade die Faser nahe ${}P$ und das totale Differential einer Funktion haben wir als lineare Approximation dieser Funktion nahe des Punktes kennengelernt. Von daher macht es Sinn, dass der Tangentialraum und das totalen Differntial von ${}\psi$ eng zusammen hängen. Wir machen das jetzt aber etwas exakter. Wir wollen zeigen, dass der obige Tangentialraum auch durch

${\left\{P+{\left(D\psi \right)}_{Q}{\left(u\right)}\mid u\in \mathbb {R} ^{n-m}\right\}}$

gegeben ist. Das heißt, die Vektoren aus dem Kern von ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ werden durch Vektoren aus dem Bild von ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ ersetzt. Zwei Fragen stellen sich nun. Sind Bildvektoren von ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ immer Kernvektoren von ${}\left(D\varphi \right)_{P}$? Und wenn ja, sind dadurch alle Kernvektoren beschrieben, oder gibt es welche die nicht durch Abbilden mit ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ getroffen werden? Zur ersten Frage nutzen wir, dass ${}\psi$ in die Faser ${}Y$ von ${}\varphi$ abbildet. Da ${}\varphi$ ausgewertet an einem beliebigen Punkt ${}x\in Y$ immer den selben Wert ergibt, sagen wir ${}a$, haben wir

$\varphi (\psi (v))=a$

für alle ${}v\in U$ und deshalb wegen der Kettenregel insbesondere

$\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0,$

also die Nullabbildung. Jeder Bildvektor von ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ wird von ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ auf Null geschickt und ist deshalb im Kern von ${}\left(D\varphi \right)_{P}$. Dass das nun auch alle Vektoren im Kern abdeckt folgt daraus, dass ${}\psi$ ein Diffeomorphismus ist. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ regulär und als Abbildung von ${}\mathbb {R} ^{n-m}\to \mathbb {R} ^{n}$ injektiv sein muss (wir haben ${}n-m\leq n$). Das Bild von ${}\psi$ hat demnach Dimension ${}n-m$. Welche Dimension hat der Kern von ${}\left(D\varphi \right)_{P}$? Sind wir dann fertig?

 

Die nächste Aufgabe knüpft an Aufgabe 34.27 an.

Aufgabe

Im Nullpunkt ${}0\in \mathbb {R} ^{3}$ befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch ${}x=-1$ bestimmte Ebene sei die Netzhaut ${}N\cong \mathbb {R} ^{2}$ (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung

$\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung differenzierbar? Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär, wie sehen die Fasern aus?

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x,y)\longmapsto -t^{2}+x^{2}+y^{2}.$

Bestimme die regulären Punkte und die Fasern dieser Abbildung.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xy,yz).$

Bestimme die regulären Punkte, die Fasern, das Bild und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung.

Aufgabe

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{2}+y^{2}+z^{2},\,2x+3y+4z\right).$

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung ${}\varphi$. Zeige, dass ${}P=(1,-2,1)$ regulär ist.

b) Beschreibe für den Punkt ${}P=(1,-2,1)$ den Tangentialraum an die Faser ${}F$ von ${}\varphi$ durch ${}P$.

c) Man gebe für ${}P=(1,-2,1)$ einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von ${}P$ in der Faser ${}F$ durch ${}P$ an.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}\cdot \sin y-y\cdot \cos(xy).$

Zeige, dass die Faser durch den Punkt ${}P=(2,3)$ sich lokal durch eine differenzierbare Kurve

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t),$

mit ${}\gamma (0)=P$ parametrisieren lässt, und bestimme die möglichen Werte der Ableitung ${}\gamma '(0)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Tangentialraum an die Faser im Punkt ${}(2,-1,3)$ der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{2}e^{z}-y^{3},\,{\frac {x}{e^{yz}}}\right),$

und zwar sowohl durch lineare Gleichungen als auch durch eine parametrisierte Gerade.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2},$

im Punkt ${}P=(1,-1,2)$. Man gebe eine differenzierbare Abbildung

$\psi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

an, wobei ${}U$ eine möglichst große offene Teilmenge des Tangentialraumes ${}T_{P}F$ an die Faser ${}F_{P}$ von ${}\varphi$ durch ${}P$ ist, die eine Bijektion zwischen ${}U$ und ${}V\cap F_{P}$ stiftet ($P\in V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen).

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

$\varphi _{1},\varphi _{2}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Abbildungen und seien ${}F_{1}$ und ${}F_{2}$ Fasern dieser Abbildungen, d.h. es sei ${}F_{1}=\varphi _{1}^{-1}(b_{1})$ und ${}F_{2}=\varphi _{2}^{-1}(b_{2})$ (für gewisse ${}b_{1},b_{2}\in \mathbb {R}$). Zeige, dass es eine stetige Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

und ein ${}a\in \mathbb {R}$ derart gibt, dass ${}F_{1}\cup F_{2}=\varphi ^{-1}(a)$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe explizit eine stetige Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

derart, dass die Faser von ${}\varphi$ über ${}0$ gleich ${}I={\left\{(x,0)\mid x\in [0,1]\right\}}$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Fasern der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{3},$

in jedem Punkt ${}P=(x,y)$ lokal homöomorph zu einem offenen reellen Intervall sind. D.h. dass es zu jedem Punkt ${}P=(x,y)$ eine offene Umgebung ${}(x,y)\in U$, ein offenes Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und eine stetige Bijektion

$I\longrightarrow U\cap F_{P},$

gibt (wobei ${}F_{P}$ die Faser von ${}\varphi$ durch ${}P$ bezeichnet), deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.